1. Вэриан Хел.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: учебник для вузов/ пср. с англ. под ред. Н.Л. Флоровой – М.: ЮНИТИ, 2008. 767 с.
2. Данилова Н.Н. Курс математической экономики. Электронный учебник: http://www.math.kemsu.ru/Новосибирск: издательство СОРАН, 2010. 445 с.
3. Экономическая школа. Лекции по микроэкономике. Электронный учебник: http://50.economicus.ru/
Цель и содержание. Освоение методов расчета основных статистических показателей совокупностей и проверка статистических гипотез. Построение вероятностно-статистической модели одномерной геологической совокупности и определение типа распределения геолого-геофизических данных.
Теоретическое обоснование.При построении статистических моделей исходные геологические данные используются в виде определенных наборов или совокупностей. По существу, такие геологические совокупности и являются предметом количественных исследований в геологии.
Совокупность характеризует изменчивость какого - либо геологического признака. По своей структуре совокупности могут быть одномерными, т. е. когда значение признака в одной точке характеризуется одним числом (например, глубина залегания пласта), или многомерными, когда значение признака характеризуется рядом чисел (например, коллекторские свойства характеризуются двумя числами - пористостью и проницаемостью).
В начале исследований необходимо сгруппировать исходные данные, распределив их по ранжированным равномерным интервалам. Количество интервалов n можно определить по формуле:
, (1)
где N - общее число элементов или объем исходной статистической совокупности. Причем, N = 50 – последние две цифры номера зачетной книжки.
В случае разбиения совокупности на равные интервалы их протяженность определяется формулой Стерджесса:
, (2)
где d - длина интервала; hmax, hmin - значение изучаемого параметра, соответственно, максимальное и минимальное в объеме исходной статистической совокупности.
Границы j-го интервала определяются из выражений:
, , (3)
где - соответственно левая и правая граница j - го интервала. Необходимо учитывать, что левая граница принадлежит данному интервалу, а правая не принадлежит, исключая последний интервал.
Далее строим гистограммы распределения совокупности (рисунок 1) в координатах: 1) ось X - длина интервалов значений изучаемых параметров; 2) по оси Y откладываются две величины: а) fj - частота j-го интервала (число значений совокупностей, попавший в каждый интервал) и б) Pj - относительные частоты или частости, вычисляемые по формуле:
, (4)
где Pj - относительная частота или частость, fj - частота j-го интервала, N - объем совокупности.
Рисунок 1 - Пример построения гистограммы
Совокупность характеризуется рядом параметров, из которых наиболее важны средние значения и дисперсия.
Положение центра совокупности характеризует оценка математического ожидания или выборочное среднее, вычисляемое по формуле средней арифметической, где i-ые значения неранжированны, j-ые ранжированные (сгруппированные), вычисляется по формулам:
, (5)
(6)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Здесь - математическое ожидание; fj - частота j-го интервала; hj - среднее значение признака в j-ом интервале, равное hj = (hNj + hKj) / 2; n -число интервалов.
Размах значений совокупности характеризуется его дисперсией s2, вычисляемой для равновероятных данных по формулам:
, (7)
(8)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Несмещенную точечную оценку дисперсии определяем по формулам:
, (9)
(10)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Более нагляден так называемый стандарт или среднее квадратическое отклонение от средней (корень квадратный из центрального момента второго порядка по выборочным данным ), равный корню квадратному по дисперсии:
, (11)
(12)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Таким образом, размах значений исследуемой совокупности составляет от до .
Распределение точечных оценок дисперсии используется для оценки доверительных интервалов. Однако в связи с асимметрией кривой распределения доверительные интервалы дисперсии неодинаковы.
Минимальное значение дисперсии определяется формулой:
, (13)
а максимальное:
, (14)
где - доля площади, ограниченная кривой распределения, соответствующая выбранному уровню значимости a и числу степеней свободы m. Значения табулированы и, кроме того, значения и с очень большой степенью точности можно рассчитать в программной среде EXСEL.
Истинное значение дисперсии, таким образом, с вероятностью 1-a заключено в интервале
. (15)
В различных геологических задачах часто используют степенную среднею, определяемую по формуле:
, (16)
(17)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
При разных значениях k образуется ряд средних: средняя гармоническая (k=-1), средняя геометрическая (k=0), средняя арифметическая (k=1),средняя квадратическая (k=2) и средняя кубическая (k=3).
Средняя гармоническая используется в том случае, когда значения исходных данных представлены обратными величинами:
, (18)
(19)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Среднюю геометрическую вычисляют обычно для количественной оценки темпов изменения признака:
, (20)
(21)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Значения средней квадратической рассчитывают по формулам:
, (22)
(23)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Значения средней кубической рассчитывают по формулам:
, (24)
(25)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
Значения средней четвертой степенирассчитывают по формулам:
, (26)
(27)
для невзвешенных и сгруппированных данных соответственно.
При правильном расчете степенных средних соблюдается контрольное равенство:
. (28)
Кумулятивные частоты вычисляют по формуле:
. (29)
Наиболее полная характеристика совокупности вытекает из анализа и сопоставления моментов распределения. Более того, значения параметров совокупности - средней и дисперсии - являются лишь частными случаями этих общих характеристик.
Различают моменты начальные и центральные. Начальные моменты вычисляют по формулам:
, (30)
где - начальный момент первого порядка, представляющий собой среднее арифметическое;
, (31)
где - начальный момент второго порядка;
, (32)
где - начальный момент третьего порядка;
, (33)
где - начальный момент четвертого порядка.
Проверкой правильности расчетов служат равенства:
, , , . (34)
Центральные моменты представляют собой средние значения степеней отклонений случайной величины от математического ожидания. Их вычисляют по формулам:
, (35)
где n1 - центральный момент первого порядка, всегда равный нулю, так как суммы положительных и отрицательных отклонений от средней равны;
, (36)
где n2 - центральный момент второго порядка, представляющий собой дисперсию;
, (37)
где n3 - центральный момент третьего порядка;
, (38)
где n4 - центральный момент четвертого порядка.
На основе центральных моментов предлагается вычислить нормированные моменты по формуле:
, (39)
где k=1, 2, 3, 4 и - центральные моменты 1, 2, 3 и 4-го порядка соответственно. Отсюда , , , .
Нормированный момент третьего порядка служит для оценки асимметрии кривой плотности вероятности и называется асимметрией.
Ее расчет проводится по формуле:
. (40)
Положительное значение асимметрии (r3 > 0) свидетельствует о смещении максимума кривой распределения относительно максимума гистограммы вправо (правая асимметрия), а при r3 < 0 отмечается смещение максимума кривой влево (левая асимметрия). Естественно, что при r3 = 0 совокупности симметричны.
Значение нормированного момента четвертого порядка используется для оценки формы кривой распределения плотности вероятности и называется эксцессом.
Расчет ведется по формуле:
. (41)
При E>0 распределение характеризуется плоской и широкой вершиной, при E<0 - выпуклой и острой.
При использовании математических методов для решения геологических задач значительная роль отводится проверке статистических гипотез о правильности выбранного закона распределения. Одна из наиболее распространенных задач - проверка соответствия изучаемой совокупности нормальному закону распределения. Прежде всего возможность такой проверки вытекает из анализа моментов. Так показателем нормального распределения является его симметрия, т. е.
(42)
и равенство
. (43)
Кроме того, приближенная оценка близости распределения к нормальному вытекает из средних квадратических оценок его асимметрии:
(44)
и эксцесса
. (45)
Отсюда принадлежность к нормальному закону распределения вытекает из соблюдения неравенств:
; (46)
. (47)
При принадлежности исходной совокупности геолого-геофизических данных к нормальному закону следует рассчитать значения функции плотности нормального распределения для середины каждого интервала. Расчет ведется по формуле:
. (48)
Плотность относительной частоты рассчитывается по формуле
. (49)
На гистограмму плотности относительных частот наносятся результаты расчета функции плотности нормального распределения в виде кривой плотности вероятности нормального распределения.
Если изучаемое распределение геолого-геофизических параметров не принадлежит к нормальному, следует рассмотреть принадлежность изучаемой совокупности к логнормальному распределению.
Функция плотности вероятности имеет вид:
, (50)
где , - параметры распределения, которые оцениваются по формулам:
- дисперсия логарифмов значений
, (51)
(52)
соответственно для неранжированных и ранжированных данных;
- среднее значение логарифмов
, (53)
(54)
соответственно для неранжированных и ранжированных данных.
Логнормальное распределение часто характеризуется такими привычными параметрами, как среднее арифметическое:
; (55)
дисперсия:
; (56)
медиана, делящая совокупность на две равные части:
; (57)
мода, соответствующая наиболее распространенному значению:
. (58)
Из сопоставления вычисленных значений среднего арифметического, дисперсии, медианы и моды должно выполнятся неравенство
. (59)
Аппаратура и материалы.Для выполнения лабораторной работы рекомендуется использовать ПК. Исходными данными для выполнения работы являются совокупности геологических параметров h1..........hn, где h - значения пористости, толщин, коэффициентов заполнения ловушек, нефтеотдачи, амплитуд, площадей, объемов складок, площадей или линейных размеров залежей, их запасов и т. д.
Указания по технике безопасности. Компьютер – высокотехнологичное технически хорошо продуманное устройство, но вместе с тем очень опасное. Иногда опасность реальна, а иногда, он незаметно воздействует на Ваше здоровье и психику.
, (1)
, (2)
, 
, (3)
- соответственно левая и правая граница j - го интервала. Необходимо учитывать, что левая граница принадлежит данному интервалу, а правая не принадлежит, исключая последний интервал.
, (4)
, (5)
(6)
- математическое ожидание; fj - частота j-го интервала; hj - среднее значение признака в j-ом интервале, равное hj = (hNj + hKj) / 2; n -число интервалов.
, (7)
(8)
, (9)
(10)
, (11)
(12)
до 
.
, (13)
, (14)
- доля площади, ограниченная кривой распределения, соответствующая выбранному уровню значимости a и числу степеней свободы m. Значения 
и 
с очень большой степенью точности можно рассчитать в программной среде EXСEL.
. (15)
, (16)
(17)
, (18)
(19)
, (20)
(21)
, (22)
(23)
, (24)
(25)
, (26)
(27)
. (28)
. (29)
, (30)
- начальный момент первого порядка, представляющий собой среднее арифметическое;
, (31)
- начальный момент второго порядка;
, (32)
- начальный момент третьего порядка;
, (33)
- начальный момент четвертого порядка.
, 
, 
, 
. (34)
, (35)
, (36)
, (37)
, (38)
, (39)
- центральные моменты 1, 2, 3 и 4-го порядка соответственно. Отсюда 
, 
, 
, 
.
. (40)
. (41)
(42)
. (43)
(44)
. (45)
; (46)
. (47)
. (48)
. (49)
, (50)
, 
- параметры распределения, которые оцениваются по формулам:
, (51)
(52)
, (53)
(54)
; (55)
; (56)
; (57)
. (58)
. (59)