Пусть задана функция . Т. к. и независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим переменной приращение , а сохраним постоянной. Тогда функция получит некоторое частное приращение
Аналогично можно получить приращение и по переменной
Тогда полное приращение будет вычисляться по формуле
Если существует предел то он называется частной производной функциипо переменнойв точке и обозначается одним из символов Аналогично определяется и обозначается частная производная функции по переменной :
Зафиксируем теперь переменную , считая её константой, и продифференцируем функцию по переменной
, тогда, следовательно,
У квазистационарного тока мгновенные значения силы
тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так
как их изменения происходят достаточно медленно.
Геометрические размеры всей электрической схемы по сравнению
с длиной волны квазистационарного тока пренебрежимо малы
. Для мгновенных значений квазистационарных токов
выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.
Приложим к цепи переменное напряжение :
1) Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением :
, где амплитуда силы тока ;
называют активным сопротивлением.
2) Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью :
, где
Величина называется реактивным индуктивны
сопротивлением.Падение напряжения на катушке индуктивности:
3) Переменный ток, текущий через конденсатор ёмкостью
: , где
Величина называется реактивным ёмкостны
сопротивлением.Падение напряжения на конденсаторе:
Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединённые
резистор, катушку индуктивности и конденсатор. Для того,
чтобы найти силу тока в такой цепи, нужно решить
дифференциальное уравнение вида
Решение этого уравнения удобно искать в комплексной форме.
Так можно сделать, поскольку уравнение является линейным.
Из найденного решения нужно будет выделить действительную
часть. В этом случае результат будет такой же, как если бы
мы оперировали только с действительной частью. Поскольку
экспонента не изменяет своей формы при дифференцировании,
то поиск решения в комплексной форме является более простым:
– циклическая частота изменения напряжения;
– в общем случае
комплексное число, которое несёт информацию об амплитуде и
начальной фазе напряжения в цепи. Можно показать, что уравнение
для силы тока принимает вид, аналогичный (2):
В результате уравнение (1) сводится к алгебраическому уравнению вида:
(закон Ома для цепи переменного тока)где
– комплексный импеданс. Импеданс играет роль полного сопротивления цепи.
Если взять модуль уравнения (3), то мы будем иметь дело только с модулями
комплексных амплитуд тока и ЭДС. Модуль импеданса тоже называют
импедансом. Он имеет вид:
Если (3) сократить на , то мы будем иметь дело только
с комплексными амплитудами. Этот метод решения называется методом
комплексных амплитуд. Если представить комплексную амплитуду в виде
вектора на комплексной плоскости, то уравнение (3) можно решать геометрически
. Такой метод решения называется методом векторных диаграмм.
Построим векторную диаграмму для падений напряжений на всех элементах цепи:
, ,
,
Между током и напряжением существует сдвиг фаз
Резонанс напряженийИз (3) и (4) следует, что при так называемой
резонансной частоте , сила тока в цепи максимальна и равна
, а падения напряжений на конденсаторе
и катушке индуктивности одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.
Между током и напряжением существует сдвиг фаз
Резонанс напряжений
Из (3) и (4) следует, что при так называемой резонансной частоте
, сила тока в цепи максимальна и равна
, а падения напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности