Предел функции двух переменных.
Зафиксируем на координатной плоскости
некоторую точку
с координатами
. Множество всех точек
, удовлетворяющих неравенству
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image025.png)
называется
- окрестностью точки
(рис. 84).
Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
за исключением может быть самой этой точки. Число
называется пределом функции
при
, если для любого числа
существует такое число
, что из неравенства
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image025.png)
следует неравенство ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image041.png)
В этом случае записывают
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image044.png)
Из этого определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка
стремится к точке
. Для функции одной переменной точка
может стремиться к точке
только двумя путями: слева и справа. На плоскости таких направлений бесконечно много (рис. 85). Основные свойства предела функции двух переменных аналогичны соответствующим свойствам пределов функции одной переменной.
Функция
называется непрерывной в точке
если она:
1) определена в этой точке и в некоторой ее окрестности;
2) имеет предел в этой точке, равный её значению в ней:
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image058.png)
Функция непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области. Можно показать, что функция
будет непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image060.png)
Точки, в которых условие непрерывности не выполняются, называются точками разрыва.
Пример 65. Функция
не имеет точек разрыва на всей координатной плоскости, а функция
![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image064.png)
имеет разрыв в точке ![](http://ok-t.ru/life-prog/baza1/1559880977061.files/image066.png)