Работа №4

Часть 1. Системы дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения высших порядков

Системы дифференциальных уравнений n-го порядка решаются аналогично одному уравнению. Разница заключается в том, что n начальных условий и n правых частей записываются в матрицу-столбец n-го порядка. Результатом является матрица, содержащая n + 1 столбец: 0-й столбец – как всегда аргумент, с 1-го по
n + 1-й – искомые функции.

Например, решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений
2-го порядка

с начальными условиями x₀(0) = 0; x₁(0) = 1 в 100 точках на интервале tÎ при m = –0,2 .

Здесь аргументом является t, искомыми функциями х₀(t) и х₁(t).

Параметр m задается до его использования.

На рис. 23 показано решение поставленной задачи с графиками полученных функций х₀(t) и х₁(t), построенных в первых 30-ти точках.

Рис. 23

Задание 1. Разберитесь самостоятельно в приведенном примере и воспроизведите его в пакете MathCad.

Задание 2. Самостоятельно решить систему дифференциальных уравнений 3-го порядка

с начальными условиями у₀(0) = 1; у₁(0) = 0; у₂(0) = 0,5 на интервале
хÎ(0; 10) в 50-ти точках. Построить графики функций у₀(х), у₁(х), у₂(х) на одном поле. Перекрасить график функции у₂(х) в черный цвет. Показать координатные линии – по 4 интервала на каждой оси.

Дифференциальные уравнения более высоких порядков сводятся к системе уравнений 1-го порядка. Для этого нужно сделать замену переменных. Замен нужно сделать столько, каков порядок исходного уравнения.

Пусть требуется решить дифференциальное уравнение n-го порядка

a_n y⁽ⁿ⁾ + a_n-1 y^(n-1) + … + a₂ y" + a₁ y' + a₀ y = b f(x)

с начальными условиями y(0) = c₀; y'(0) = c₁; y"(0) = c₂; … y^(n-1)(0) = c_n-1.

Обозначим через g₀ функцию у, входящую в уравнение. Все ее производные с 1-й до n–1-ую включительно обозначим через g₁, g₂, … g_n-1 и возьмем производные от обеих частей каждой такой замены с учетом того, что производные от функции у обозначены буквой g с соответствующими индексами:

g₀ = y; g₀' = y' = g₁;

g₁ = y'; g₁" = y" = g₂;

g₂ = y"; g₂'" = y'" = g₃;

: :

g_n-1 = y^(n-1); = y⁽ⁿ⁾ = h f(x) – d_n-1 y^(n-1) – … – d₂ y" – d₁ y' – d₀ y. В последнем равенстве n-ю производную от у берем из исходного уравнения, преобразовав его таким образом, чтобы в левой части исходного уравнения осталась старшая производная без коэффициента. Все остальные члены уравнения перенесены в правую часть с коэффициентам h, d_i, где i = 0,…, n – 1;

Исходные данные преобразуются к следующему виду:

g₁(0) = c₀; g₂(0) = c₁; g₂(0) = c₂; … g_n-1(0) = c_n-1.

Таким образом, имеем систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка, аргументом в которой по-прежнему является х, а искомыми функциями стали g₀(х), g₁(х), g₂(х), … g_n-1(х):

Как решить такую систему дифференциальных уравнений Вы уже знаете.

Задание 3. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка
y" + y' – 2y = 0 с начальными условиями y(0) = 1; y'(0) = 3 на интервале xÎ(0; 0,5) в 50-ти точках.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение 2-го порядка, нужно заменой переменных привести его к системе 2-х уравнений 1-го порядка: Теперь возьмем производные от каждого из этих равенств:
g'₀ = y' = g₁; g'₁ = y" = –y' + 2y = –g₁ + 2g₀. Получили 2 уравнения 1-го порядка:

Решаем полученную систему методом Рунге-Кутта.

На рис. 24 приведено решение этой системы. Результатом является матрица z, содержащая 3 столбца. В нулевом столбце – аргумент, в первом – искомая функция у, во втором – ее производная у'. Построены графики у и у'.

Рис. 24

Задание 4. Самостоятельно решить систему дифференциальных уравнений 4-го порядка y"" – 2k²y" + k⁴y = 0 в 50-ти точках на интервале
х Î (0; 5) с начальными условиями y(0) = 0; y'(0) = 1; y"(0) = 2; y'"(0) = 3 при k = 3.

Построить графики у(х), у'(x), y"(x), y'"(x) на одном поле. Поле растянуть на ширину страницы. Изменить левую границу интервала по оси х на 3,5. Заменить тип линий: 1– bar (брусок); 2 – draw (черточка); 3 – step (ступенька); 4 – points (точки), symbol – o's (точки в виде кружочков). Сделать вес каждой кривой – 2 (в два раза толще).