По результатам опытов, проведенных в соответствии с матрицей планирования, можно подсчитать коэффициенты регрессии линейного уравнения, описывающего поверхность отклика в локальном участке вблизи выбранного основного уровня, по формуле
bi= ,
где x in - значение xiв п-м опыте; уп- значение параметра оптимизации в том же опыте.
Таким образом, способ расчета коэффициентов очень прост: столбцу у следует приписать знаки соответствующего столбца хi , сложить все значения параметров оптимизации со своими знаками и результат разделить на число опытов матрицы планирования.
Пусть, например, в случае восьми опытов согласно полуреплике 2 4-1 будем иметь матрицу планирования (табл. 4).
Таблица 4
Номер опыта
х0
х1
х2
х3
х4
y
+
--
--
--
--
+
+
--
--
+
+
--
+
--
+
+
+
+
--
--
+
--
--
+
+
+
+
--
+
--
+
--
+
+
--
+
+
+
+
+
Коэффициенты b i определяются по формулам :
b 2 =
b3 =
b4 =
b0=
Аналогично можно было бы рассчитать и эффекты при парных взаимодействиях bij(для этого в матрицу планирования следовало бы добавить столбцы соответствующих взаимодействий).
Пример планирования эксперимента
Провести анализ влияния независимых переменных модели системы на зависимые переменные с построением плана эксперимента с помощью метода наименьших квадратов и линейного регрессионного анализа.
Рассмотрим в качестве объекта моделирования систему, структура которой показана на рис.1, где И - источник заявок; Н - накопитель для хранения заявок; К - канал обслуживания; - интервал следования заявок входящего потока; - время обслуживания; L - ёмкость накопителя.
L
Рис.1
В данном примере исследуется однофазная одноканальная модель с интервалами поступления заявок =15 с, ёмкостью накопителя заявок L=10, временем обслуживания =10 с. В имитационном эксперименте необходимо оценить среднее время задержки в системе Т (время обслуживания и нахождения в очереди) при минимальных затратах машинных ресурсов.
При проведении машинного эксперимента для оценки среднего времени задержки Т, являющегося характеристикой (реакцией) системы, необходимо определить влияние факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой. Для этого отберём факторы, влияющие на искомую характеристику, и опишем функциональную зависимость. Определим уровни выбранных факторов, фиксированный набор которых определяет одно из возможных состояний рассматриваемой модели.
Для составления плана эксперимента выделим следующие факторы. Интервал поступления заявок х1= . Время обслуживания заявок х2 =. Ёмкость буфера х3=L.
Определим локальную подобласть планирования эксперимента путём выбора основного (нулевого) уровня хi0 и интервалов варьирования для каждого выбранного фактора. Сведём полученные данные в табл. 5.
Таблица 5
Факторы
Уровни факторов
Интервалы
варьирования
-1
+1
х1х2х3
Существует вполне определённая зависимость между уровнями факторов и реакцией системы, которую представим в виде соотношения
y =
Для определения зависимости строим математическую (аналитическую) модель планирования в виде полинома первого порядка
Выбранная модель включает линейные члены полинома и их произведения. Для оценки коэффициентов модели используем план эксперимента типа 2kс варьированием всех k факторов на двух уровнях (q = 2).
Полный факторный эксперимент даёт возможность определить коэффициенты регрессии, соответствующие не только линейным эффектам, но и всем эффектам взаимодействий. План ПФЭ представим в виде матрицы планирования (табл. 6).
Таблица 6
Номер
опыта
План ПФЭ
Реакция
y
х0
х1
х2
х3
х1х2
х1х3
х2х3
х1х2х3
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов, т.е. обладает большой избыточностью. Одним из способов уменьшения этой избыточности является применение ДФЭ, позволяющего значительно сократить количество испытаний и сэкономить ресурсы ЭВМ. Используем ДФЭ типа 23-1 , что позволит сократить количество опытов в 2 раза. Матрица планирования ДФЭ представлена в табл.7.
Таблица 7
Номер
опыта
План ДФЭ
y
Т
x0=x1x2x3
x1
x2
x3=x1x2,
+1
+1
+1
+1
-
+
+
-
-
+
-
+
+
+
-
-
y1y2y3y4
В соответствии с формулой
составим программу для определения коэффициентов модели планирования эксперимента.
MODEL:
PROCEDURE OPTIONS (MAIN);
DCL X (4,8), Y (4), B (5);
GET LIST (X,Y, K, B);
DO I=1 TO 4;
B (I)=0;
DO J=1 TO 4;
B (J)=X (I, J)*Y (I)*B (J);
B (J)=B (J)/ N;
K=B (J);
PUT LIST (K);
END;
END;
END MODEL:
Определим значения коэффициентов и, подставив их в выбранную нами модель планирования эксперимента, получим
y= 11 +6,5x2 - 0,5x3 .
Следующим (заключительным) этапом планирования эксперимента является интерпретация полученных результатов и принятия решения, т.е. определение оценок величины и направления влияния факторов на реакцию системы.
Анализируя полученное выражение и используя правила интерпретации, делаем вывод, что на реакцию системы (время задержки заявки) наиболее сильно влияет фактор x2 (время обслуживания заявки), а влияние третьего фактора (пропускная способность обслуживающего канала) практически отсутствует. С учетом изложенного функциональная зависимость в натуральных значениях примет вид
, 
b 2 = 
- интервал следования заявок входящего потока; 
- время обслуживания; L - ёмкость накопителя.
=15 с, ёмкостью накопителя заявок L=10, временем обслуживания 
=10 с. В имитационном эксперименте необходимо оценить среднее время задержки в системе Т (время обслуживания и нахождения в очереди) при минимальных затратах машинных ресурсов.
строим математическую (аналитическую) модель планирования в виде полинома первого порядка
