Организация эксперимента и обработка результатов

Моделирование готовых объектов проводится в виде организации эксперимента и обработки полученных результатов. Экспериментальные исследования, проводимые как на натуре, так и на моделях, должны быть предварительно тщательно продуманы не только в отношении порядка их проведения, но и в отношении выбора способов обработки результатов. Обработанные данные – это данные после выполнения над ними таких математических операций, как построение графиков, пересчет в относительные единицы, выявление функциональных зависимостей и их математическое (аналитическое) представление в виде буквенных выражений (формул). При конструировании этих выражений причинная зависимость может быть достаточно ясной, а может быть и мало заметной. В одних случаях она определяется сразу же при построении графика, а в других случаях для ее определения требуется применять статистические критерии значимости. Однако во всех случаях в результате эксперимента получают некоторую конечную выборку отсчетов из бесконечной совокупности. Чем больше выборка, тем ближе ее распределение к распределению генеральной совокупности.

Допустим, что в результате эксперимента на модели необходимо найти зависимость параметра y от параметра x (y = f(x)). Для ее поиска необходимо обработку вести в такой последовательности.

1. Определить статистические средние (оценки математических ожиданий) параметров y и x по формулам:

; ,

где x_i и y_i – фактические результаты, полученные в ходе эксперимента.

2. Установить функциональную зависимость между параметрами x и y. Для дальнейшего упрощения поиска зависимости ее представляют в линейном виде y = a₀ + a₁x. Если искомая зависимость нелинейная, её необходимо свести к линейному виду путём замены переменных.

3. В полученной линейной зависимости определить, насколько параметры x и y линейно зависят друг от друга. Оценку линейной зависимости произвести с помощью коэффициента корреляции

R = ,

где k_{x, y} – момент корреляции между x и y; – среднее квадратичное отклонение по x и y.

Коэффициент R в линейной зависимости изменяется от -1 до +1. Если R отрицательный, зависимость обратная; если R = 0, зависимость отсутствует.

Коэффициент R на основе статистических данных необходимо определить по формуле

.

Если R по абсолютному значению окажется меньше 0,3, то зависимость между x и y слабая. Если окажется, что , зависимость сильная.

Допустим, что зависимость между x и y оказалась высокая. В этом случае переходят к следующему пункту.

4. Определить количественное значение коэффициентов а₀ и а₁ по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо записать формулу суммы квадратов отклонений значений y_i экспериментального от теоретического (y_i=a₀ + a₁x_i)

.

Полученная функция Z является функцией двух неизвестных коэффициентов а₀ и а₁. Их необходимо подобрать таким образом, чтобы теоретическое значение y_i мало отличалось от экспериментального значения y_i. А это значит, найти такие значения а₀, а₁, при которых Z приняла бы минимальное значение. Минимум функции Z можно найти, приравняв к нулю частные производные. В данном случае будем иметь два уравнения с частными производными:

; .

Решив указанную систему, найдём искомые коэффициенты а₀ и а₁. Поиск осуществить следующим образом. Дифференциальные уравнения записать на основе статистических данных в виде:

.

Решив указанную систему, определить коэффициенты по формулам:

; .

5. После того как значения коэффициентов определены, установить их значимость в функциональной зависимости, т.е. определить насколько их значение влияет на зависимость одного параметра от другого. Значимость коэффициентов найти путём сравнения случайных величин t_ф с t_теор., где t_теор – теоретическая случайная величина, подчиняющаяся t-распределению и заданная таблично для выбранных степени свободы V и уровня доверия (доверительной вероятности). В рассматриваемом случае выбрать V=2. Фактическая величина t_ф для каждого из коэффициентов определяется по формуле

t_aj = , где j – индекс коэффициента (j = 0,1).

Если окажется, что t_ф t_теор., то соответствующий коэффициент незначителен и им можно пренебречь.

Пример обработки результатов эксперимента

Допустим, что имеются статистические данные по факторам х₁, х₂ и отклику y, указанные в табл. 1.

Таблица 1

Необходимо установить, существует ли линейная зависимость вида .

Для этого выполним следующую статистическую обработку данных.

1. Вычислим коэффициенты корреляции между х₁, y и х₂, y по формуле

.

Полученные коэффициенты , указывают, что между х₂ и y существует сильная прямо пропорциональная зависимость, а между х₁ и y – зависимость отсутствует.

2. На основании результатов п.1 регрессию запишем в виде . Коэффициенты , вычислим по формулам:

, ;

, .

3. Установим значимость коэффициентов b₀ и b₁.

Для этого по формуле

t_bj =

определим, что фактическое значение , .

По таблице t-распределения для и найдем .

4. Несмотря на то, что , искомая зависимость примет вид . Объясняется это тем, что было проведено ограниченное число экспериментов.

Планирование эксперимента

Для математического описания объектов и процессов широко используется такая процедура, как планирование экспериментов.

Модельный эксперимент требует, чтобы при минимальном количестве опытов, варьируя значения независимых переменных по специально сформированным правилам, найти область оптимума и получить ей математическую модель. Подход здесь чисто кибернетический. Весь процесс влияния факторов на свойства представляется в виде «черного ящика». Экспериментатор на первом этапе исследования, по сути дела, абстрагируется от механизма явления, от механизма влияния факторов. Он лишь меняет входы в «черный ящик» и соответственно этому получает разные выходы из ящика.

Схема решения задачи в общем виде предполагает вначале наблюдения за влиянием факторов на параметр оптимизации, а затем поиск связи между ними. Связь, выявляемая в результате опытов, обычно представляется в виде уравнения регрессии

y=b₀+ +… .

На изменение любоговлияющего параметра х_i функция откликается изменением у. Поэтому величина у называется поверхностью отклика, функцией отклика или просто откликом. Функция отклика при этом записывается в виде отрезка степенного ряда.

Решается задача поэтапно. В этом основной принцип метода
планирования экспериментов. На первом этапe, варьируя в каждом опыте сразу все независимые переменные (что уже само по себе во много раз уменьшает объем экспериментальной работы), исследователь ищет лишь направление движения к области оптимума. Поверхность отклика при этом исследуется только на небольшом участке. В дальнейшем на каждом этапе в соответствии с результатами, полученными на предыдущих этапах, ставится небольшая серия опытов, результаты которых вместе с интуитивными решениями определяют следующий шаг. Эта процедура заканчивается в области оптимума, где ставится значительно большая серия опытов, и поверхность отклика в области оптимума описывают уже нелинейными функциями. Получающиеся в результате уравнения регрессии служат математическими моделями.По величине коэффициентов этих уравнений, как правило, можно судить о степени влияния факторов и их взаимодействии.

Статистическая значимость коэффициентов свидетельствует о значимости факторов. Такой целенаправленный подход к исследованию значительно эффективнее проведения исследования на основе проб и ошибок или на основе только опыта и интуиции.

Основная идея метода планирования – это возможность целенаправленного оптимального управления экспериментом при неполном знании механизма изучаемого явления, что отвечает идеям кибернетического подхода, предусматривающего формализацию нетворческой части труда исследователя. В основе теории планирования эксперимента лежат методы регрессионного и дисперсионного анализа.

Регрессионный анализ позволяет представлять результат эксперимента в виде функциональной зависимости. Для применения методов регрессионного анализа необходимо соблюдение следующих условий: значения изучаемых параметров процесса (переменных) в каждом опыте следует считать независимыми, нормально распределенными случайными величинами, полагая, что ошибка в параметрах системы, начальных и граничных условиях пренебрежимо мала по сравнению с ошибкой в параметрах процесса; дисперсии параметров системы при переходе от опыта к опыту следует считать однородными, полагая, что опыты достаточно хорошо повторяются.

Дисперсионный анализ, используя разложение суммарной дисперсии на составляющие, позволяет оценить адекватность экспериментальных данных истинным значениям.

В теории планирования эксперимента широко пользуются поня­тием матриц планирования эксперимента, т. е. таблицами, в кото­рых записаны кодированные значения факторов. Каждый столбец в этой таблице (матрице планирования) называется вектор-столбцом. Если сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, то говорят об ортогональности матрицыпланирования. Если точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления, то это свойство называется рототабельностью. Комбинация факторов, влияющих на проведение эксперимента, называется уровнем факторов. Если число факторов k известно, то можно найти число опытов N, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Это число определяется формулой

N=p^k, где p-число уровней.

Эксперимент, при котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Часто применяется так называемый дробный факторный эксперимент (ДФЭ) от полного факторного эксперимента, которым пользуются в тех случаях, когда нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика вместо всей поверхности. При решении такого типа задачи, например, для трёх факторов можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для полного факторного эксперимента типа 2² произведение двух влияющих факторов x_ix_j приравнять к третьему фактору x_ij.

Общая схема планирования экспериментов для решения экстремальных задач состоит из следующих этапов: постановка задачи, выбор параметра оптимизации, выбор факторов, составление линейного плана, реализация линейного плана и построение линейной модели, поиск области экстремума, описание области экстремума, интерпретация результатов.