Двоичная система счисления.

Количество цифр, используемых для изображения числа в любой позиционной системе счисления, равно основанию этой системы. В 2 c/c ( = 2 ) для этой цели применяются цифры 0 и 1.

Рассмотрим произвольное двоичное число

11010,101 = 1× + 1× + 0× + 1× + 0× + 1× + 0× + 1× =

= 16 + 8 + 2 + + = 26 = 26,625 (10 c/c).

Представленная здесь схема разложения двоичного числа является одновременно схемой перевода из 2 с/с в 10 c/c ( 2 ® 10 ).

Рассмотрим теперь перевод 10 ® 2. Такой перевод производится отдельно для целой и дробной частей числа.

Пример 1. 43,37 = 101011,01

43 | 2

42 21 | 2

1 20 10 | 2

1 10 5 | 2

0 4 2 | 2

1 2 1

Деление выполняется до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее делителя. После этого цифры частного и остатков записываются в обратном порядке. В данном случае получим 101011.

В самом деле, мы 5 раз разделили исходное число на 2. Следовательно, в нем 1 раз содержится . Кроме этого, полученные остатки указывают, что в числе содержатся дополнительно 0 раз , 1 раз , 0 раз , 1 раз и 1 раз .

Тогда можно записать:

43 = 1× + 0× + 1× + 0× + 1× + 1× ,

т.е. мы получили разложение числа по степеням основания 2.

Для перевода дробной части рассмотрим вначале произвольную десятичную дробь. Будем последовательно умножать на 10 исходное число и дробные части получаемых в процессе преобразования чисел до тех пор, пока дробная часть очередного числа не станет равной нулю.

0, | 935 × 10

9, | 35 × 10

3, | 5 × 10

5, | 0

Эта схема показывает, что в исходном числе содержится 9× (после первого умножения) + 3× (после второго умножения) + 5× (после третьего умножения).

Если вместо умножения на 10 мы будем умножать на число q, то получим перевод дробной части числа в систему счисления с основанием q. Для исходного числа, приведенного в примере 1, получим:

0, ½375 × 2

0, ½75 × 2

1, ½5 × 2

1, ½0

Следовательно, 0,37 = 0,01 .

Конечная десятичная дробь не всегда образует конечную двоичную дробь. Например, для числа 0,4 имеем:

0, ½ 4 × 2

0, ½ 8 × 2

1, ½ 6 × 2

1, ½ 2 × 2

0, ½ 4 × 2

0, ½ 8 × 2

1, ½ 6 × 2

...............

0, = 0,011001100110 = 0, (0110 .

Естественно, в этом случае полученное двоичное число округляют.