Замкнутые системы

Рассмотрим процесс восстановления единиц оборудования ремонтными бригадами. Пусть .

Предположим, что время безотказной работы единиц оборудования распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием . Тогда интенсивность выхода из строя каждой единицы оборудования определяется соотношением .

Если в некоторый момент времени ремонтируется или ожидает ремонта единиц оборудования, а работают соответственно , то вероятность отказа в течение интервала равна .

При экспоненциальном времени обслуживания с параметром за интервал времени dt могут произойти следующие переходы:

-> определяется вероятностью поступления одной заявки в систему обслуживания за время : ;

-> определяется вероятностью обслуживания одной заявки за время :

-> определяется вероятностью остаться в текущем состоянии за время :

Соответствующий граф переходов для замкнутой СМО приведен на рис.4.13.

Уравнения состояний получаем в виде:

Для установившегося режима вероятности состояний определяются следующей системой:

Последовательно рассматривая уравнения, можно получить соотношения

где является коэффициентом загрузки СМО.

Комбинируя три последние формулы, получаем

Из условия находим P₀:

.

Введем числовые характеристики замкнутых систем аналогично числовым характеристикам разомкнутых: - среднее число требований в очереди; ( ) - среднее число требований, находящихся вне системы; ( ) - среднее число занятых приборов.

Уравнения расхода для замкнутых систем можно записать в виде

,

где, напомним, - среднее число заявок в системе; - среднее время пребывания в системе; - среднее число незанятых приборов; - среднее время ожидания для одной заявки; - среднее время поступления одной заявки.

Откуда

Вероятность нулевого ожидания заявки равна

.

Средняя интенсивность источника заявок в установившемся режиме .

В замкнутых системах количество заявок всегда ограничено и независимо от соотношения существует установившийся режим.

Когда коэффициент занятости прибора близок к единице, возникает явление «скученности». В этом случае основная масса заявок сосредоточивается в накопителе и устройствах обслуживания СМО и малая доля находится вне системы.