Построение фазовых портретов

Вернемся к модели механической системы, приведенной в примере 3.1. Уравнение нелинейной модели имеет вид

.

От уравнения второго порядка можно перейти к автономной системе вида

,

Если теперь в системе исключить время t, то получим дифференциальное уравнение траекторий системы на фазовой плоскости

Последнее уравнение можно переписать так:

Тогда, полагая, что при ,а , после интегрирования уравнения в пределах от до получаем равенство

,

которое можно переписать так:

Заметим, что есть формула кинетической энергии динамической системы, а

- формула ее потенциальной энергии. Таким образом, уравнение выражает закон сохранения энергии:

где - полная энергия системы.

Ясно, что последнее уравнение - это уравнение фазовых траекторий нелинейной консервативной системы, поскольку оно получено в результате интегрирования уравнения

Таким образом, различным значениям Е на фазовой плоскости соответствуют различные кривые постоянной энергии. Стационарными точками системы являются точки M^*(x^*,0), где x^*- корни уравнения . В таком случае, если переписать уравнение закона сохранения энергии в виде

,

то можно легко построить фазовые траектории.

Проведенные рассуждения общего характера дают возможность исследовать уравнение движения маятника в среде без сопротивления, которое имеет вид

, где - положительная постоянная.

Поскольку уравнение является частным случаем уравнения , то его можно интерпретировать и как уравнение, описывающее прямолинейное движение без трения тела единичной массы под действием нелинейной пружины, где восстанавливающая сила равна . В этом случае автономная система, соответствующая уравнению, запишется в виде

Особыми точками здесь будут а дифференциальное уравнение фазовых траекторий системы примет вид

Разделяя переменные в последнем уравнении и интегрируя, получим уравнение фазовых траекторий

Последнее уравнение есть частный случай уравнения закона сохранения энергии, где , а потенциальная энергия задается соотношением

.

Определив значения , мы можем схематически набросать картину поведения траекторий на фазовой плоскости, если воспользоваться соотношением .

Полученный фазовый портрет показывает (рис. 3.3), что если энергия изменяется от до , то соответствующие фазовые траектории оказываются замкнутыми и уравнение имеет периодические решения. С другой стороны, если , то соответствующие фазовые траектории не являются замкнутыми и уравнение периодических решений не имеет. Значению же на фазовой плоскости соответствует фазовая траектория, которая разделяет два различных типа движений, такую траекторию называют сепаратрисой. Волнистые фазовые траектории, расположенные вне сепаратрис, соответствуют вращательным движениям маятника, а замкнутые траектории, расположенные в областях, ограниченных сепаратрисами,- его колебательным движениям.

На рис.3.3 видно, что в окрестности неподвижных точек , где поведение фазовых траекторий отличается от поведения фазовых траекторий в окрестности неподвижных точек , где

Посмотрим теперь, какое влияние оказывает на поведение фазовых траекторий консервативной системы линейное трение. В этом случае уравнение принимает вид

Если теперь сравнить фазовый портрет консервативной системы с последними двумя фазовыми портретами неконсервативных систем, то можно заметить, что замкнутые фазовые траектории при слабом трении перешли в спирали, а при сильном трении - в траектории, которые входят в особые точки в определенных направлениях.