Основные определения

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть представлены в следующем общем виде:

Или в векторной форме:

Решением системы является совокупность функций которые удовлетворяют исходным уравнениям. Решение можно записать также в векторной форме Система уравнений

представляет собой параметрические уравнения кривой в n-мерном пространстве вещественных осей . Эту кривую называют фазовой траекторией системы дифференциальных уравнений. В случае =1,2,3 траектория дает наглядное представление о поведении соответствующего ей решения ( рис. 3.2).

Рис.3.2.Решения и фазовая траектория системы ОДУ второго порядка

Множество всех фазовых траекторий системы образует в фазовый портрет системы уравнений. При этом пространство называют фазовым пространством системы. Таким образом, фазовое пространство изображает совокупность всех возможных состояний рассматриваемой динамической системы. Каждому новому состоянию системы соответствуют различные точки фазового пространства.

Решение системы дифференциальных уравнений определяет собой эволюцию исследуемой динамической системы во времени. Эта эволюция изображается движением фазовой точки по соответствующей траектории. Состояние системы в момент t зависит не только от момента времени, но и от исходного состояния, в котором находилась система в момент времени . Последнее соотношение называется начальным условием для решения системы.

Возможны траектории, состоящие всего лишь из одной точки: это точки покоя или стационарные точки. Точки покоя характеризуются тем, что производные переменных по времени в этих точках равны нулю. Для того чтобы точка была точкой покоя, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось условие .

Если траектория дважды проходит через одну и ту же точку, то это замкнутая траектория, называемая циклом, а соответствующее ей решение будет периодическим.

Таким образом, имеется три типа траекторий : незамкнутые, замкнутые (циклы) и точки покоя. Каждая точка фазового пространства принадлежит ровно одной траектории. Следовательно, если две фазовые траектории имеют одну общую точку , то они совпадают.

Отметим далее, что системы вида относятся к так называемым автономным или стационарным дифференциальным системам , т.е. системам обыкновенных дифференциальных уравнений , правые части которых не зависят от времени. Это название оправдано тем, что производные вектора переменных определяются только самим же вектором переменных и , таким образом, решение само управляет своим изменением. Если же хотя бы в одном из уравнений , входящих в систему, правая часть зависит явно от времени , то такая система уже называется неавтономной или нестационарной.