Общая модель функционирования

Формализация общей схемы процесса функционирования систем основана на следующих положениях [5]:

- система функционирует во времени, взаимодействуя с внешней средой, и в каждый момент времени находится в одном из возможных состояний;

- на вход системы могут поступать входные сигналы;

- система способна выдавать выходные сигналы;

- состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

- выходной сигнал в данный момент времени определяется состоянием системы и входными сигналами, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.

Дадим формальную интерпретацию каждому из упомянутых положений.

A) Множество моментов времени, в котором рассматривается функционирование системы, обозначим . Множество в общем случае является подмножеством множества действительных чисел и может быть непрерывным, дискретным (конечным или счетным) или дискретно-непрерывным. К системам, функционирующим в дискретном времени, обычно относятся конечные автоматы, вычислительные устройства, ЭВМ. К системам, функционирующим в непрерывном времени, относятся электрические схемы, системы автоматического управления непрерывными объектами, механические системы.

В ряде случаев функционирование систем носит дискретно-непрерывный характер, что характерно для иерархических систем управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, а на более высоких уровнях - в дискретном. Процесс функционирования систем во времени рассматривается как процесс перехода системы из состояния в состояние. Возможны различные способы определения состояний. Рассмотрим некоторые из них.

B) Состояние системы определяется как совокупность состояний элементов системы.

Если элементы системы могут находиться в двух состояниях, то система, составленная из элементов, может находиться в одном из состояний. Так определяется состояние дискретных автоматов в вычислительной технике, сложных систем при анализе надежностных характеристик и др. Таким образом, где множество состояний системы дискретно, - вектор, определяющий состояние системы.

Состояние системы может характеризоваться некоторым неотрицательным числом . Так определяется состояние при анализе сложных информационных систем с одной фазой обслуживания. В этом случае - число задач, запросов, находящихся в системе (на обслуживании или в очереди).

Случаем, обобщающим предыдущий, является вариант, когда состояние системы описывается набором целых неотрицательных чисел: ,где - число требований в - й фазе; - число фаз. Подобный подход к определению состояния используется при описании динамики многофазных, многоэтапных систем типа телеавтоматических систем массового обслуживания.

Состояние системы может определяться набором действительных чисел. Например, положение самолета в данный момент времени можно описать вектором фазовых координат , где - наклонная дальность, - азимут, - угол места.

В общем случае, охватывающем все рассмотренные варианты, будем считать, что состояние рассматриваемой системы описывается набором характеристик , , где - заданные множества, а множество всех возможных состояний определяется как прямое произведение множеств :

.

Множество обычно называют пространством состояний системы. В общем случае состояние в момент времени есть точка пространства состояний с координатами .

C) На вход системы могут поступать входные сигналы , где - множество входных сигналов. Входной сигнал, поступающий в систему в момент , обозначим . В общем случае входной сигнал описывается набором характеристик , где - заданные дискретные или непрерывные множества. Прямое произведение вида будем называть пространством входных сигналов, в котором входной сигнал будет представлять собой точку пространства , описываемую координатами .

D) Система способна выдавать выходные сигналы , где - множество выходных сигналов. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент , обозначим . Если выходной сигнал описывается набором характеристик , таких, что , а - заданные множества, то прямое произведение будем называть пространством выходных сигналов .

Для определения поведения системы через введенные понятия множества состояний, множеств входных и выходных сигналов необходимо ввести соотношения, позволяющие определить состояние системы и ее выходной сигнал в заданный момент времени , если известны состояния системы и входные сигналы в моменты времени, предшествующие моменту .

Различают два больших класса систем: стохастические и детерминированные.

Динамика для детерминированных систем будет считаться заданной, если указаны оператор переходов и оператор выходов .

Оператор переходов определяет динамику переходов системы из состояния в состояние:

,

где - начальное состояние, , . Совокупность упорядоченных пар для всех , где определяется заданным движением , называется фазовой траекторией системы в пространстве состояний.

Оператор выходов системы описывает динамику выходных сигналов:

.

Для задания динамики стохастических систем обычно вводят понятие случайного оператора, так как функционирование подобных систем происходит при наличии случайных факторов.

Пусть - пространство элементарных случайных событий с вероятностной мерой , где - случайное элементарное событие. Тогда операторы переходов и выходов стохастической системы можно задать в виде случайных операторов:

,

,

где , , - случайные элементарные события, которые независимо выбираются из в соответствии с вероятностными мерами , , . При этом, если и фиксированы, то стохастическая система называется системой со случайными начальными состояниями; если и фиксированы, то стохастическая система является системой со случайными переходами; если и фиксированы, то стохастическая система называется системой со случайными выходами.

В силу наличия случайных факторов в системе, динамику стохастической системы в пространстве состояний можно описывать поведением случайного процесса с областью значений во множестве состояний системы .

Для систем, которые отличаются значительным числом элементов, разнородным составом, различным характером взаимодействия, построение общей модели функционирования в виде единых операторов и оказывается затруднительным. В этом случае основной метод построения моделей функционирования состоит в функциональной декомпозиции системы, которая требует раскрытия структуры системы (состава элементов, функций элементов и их взаимодействия). Причем в большинстве случаев модель функционирования носит иерархический характер.

Составной характер моделей систем большой размерности обусловливает потребность в специальных способах их описания. Модель сложной системы представляется в виде тройки , где - множество элементов, в число которых включается и внешняя среда; - множество допустимых связей между элементами (структура модели); - множество рассматриваемых моментов времени.

Эти понятия могут быть формализованы разными способами, однако их содержательный смысл остается неизменным. В качестве обычно выбираются непрерывные множества или , , или счетное множество вида или , где -фиксировано. В каждый момент времени в множестве выделяется конечное подмножество элементов, из которых в этот момент состоит модель, а в множестве - подмножество , указывающее, какие именно связи реализованы в момент . Следовательно, допускается как переменность состава, так и переменность структуры модели.

Модели элементов сложных систем удобно разделить на две категории: внешние и внутренние. Названия эти условны и имеют следующий смысл.

Внутренние модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками: физикой, химией, механикой, электротехникой и другими. Характерным для внутренних моделей является описание механизмов, управляющих изменением состояний исследуемых объектов, которое базируется на системе уже выявленных и экспериментально подтвержденных закономерностей. Примерами могут служить модели, описываемые дифференциальными уравнениями или марковскими процессами.

Вследствие недостатка знаний о функционировании элемента или из-за необходимости понизить размерность модели, а также по другим причинам часто используют модели типа «вход - выход» или «стимул - реакция». При этом не интересуются динамикой состояний элементов, а лишь описывают их внешнее поведение. Примерами моделей подобного типа служат различные регрессионные модели, поверхности отклика, функциональные зависимости и т.п. Такие модели называются внешними или моделями типа «черный ящик».

Наконец следует отметить, что модели сложных систем редко поддаются аналитическим методам исследования. Поэтому их анализ в основном осуществляется методами моделирования на ЭВМ.