Ряды распределения

На практике установлены следующие соотношения между численностью группируемых значений n переменной x и числом интервалов k:

n	k
40-60	6-8
60-100	7-10
100-200	9-12
200-500	12-17

Число интервалов можно вычислять по формуле , причем, 5≤k≤20. Для предварительного определения числа интервалов k может быть также использована эмпирическая формула с округлением числа до ближайшего целого.

Ширина интервала d сохраняется одинаковой для всех интервалов и определяется как d=(x_max-x_min)/k, где x_max и x_min – соответственно максимальное и минимальное значение членов ряда.

Ширина интервала d имеет ту же размерность, что и переменная x.

В качестве частоты, соответствующей m-му интервалу величины х, принимают сумму частот N_m членов ряда, попавших в этот интервал.

Отношение N_m к общей численности значений переменных (объему выборки) n , т.е. N_m/ n, называется относительной частотой p_m.

Отношение N_m/d является плотностью частоты.

Отношение р_m/d – плотностью относительной частоты.

Частота N_m - целое число (измеряется в штуках), p_m= N_m/ n измеряется в долях единицы, а N_m/d и р_m/d имеют размерность обратную, размерности основной переменной х.

Пример Пусть выборка содержит 10 значений влажности карамели с фруктовой начинкой (в %): 6,8; 6,4; 8,0; 7,6; 6,4; 6,2; 5,8; 6,8; 6,4; 5,6. Интервал, для которого нужно найти перечисленные характеристики, задан границами 6,0 и 7,5, так, что d=(7,5-6,0)/5=0,5. Частота значения 6,2 равна 1, так как в выборке встречается 1 раз, для значения 6,4 частота равна 3, для 6,8-2 и т.д. В заданный интервал попадают значения 6,4 и 6,2% с частотами 3 и 1 соответственно. Таким образом, частота соответствующая заданному интервалу, равна 4, относительная частота равна 4/10, плотность частоты – 4/0,5 и плотность относительной частоты – 0,4/0,5.

При анализе рядов распределения рассматривают взаимосвязь двух переменных: значений членов ряда и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистические распределения изображаются графически в виде гистограмм или полигонов частот.

Построение полигона ведется следующим образом.

Серединой каждого интервала является (х_m_-1-x_m)/0,5 - где х_m_-1 и x_m - границы интервала, а m изменяется от 1 до k. Середины интервалов откладывают на оси ординат. На оси абсцисс откладывают N_m или p_m

Построение гистограмм осуществляется в следующем порядке. На горизонтальной оси размечают границы интервалов и над каждым интервалом строят прямоугольник с основанием, равным ширине интервала и высотой соответствующей плотности частоты (гистограмма частот) или плотности относительной частоты (гистограмма относительных частот).

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т.е. объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Расчет частот и относительных частот для примера

Нижняя граница интервала 5,1

6,8; 6,4; 8,0; 7,6; 6,4; 6,2; 5,8; 6,8; 6,4; 5,6

Таблица 2.5

m х_m_-1-x_m Середина интервала (х_m_-1+x_m)∙0,5=x_m* N_m p_m N_m/d р_m/d

5,1-5,6 5,35 1/10 1/0,5(х_m_-1-x_m =0,5) 1/5 (1/10*1/0,5)

5,6-6,1 5,85 1/10 1/0,5 1/5

6,1-6,6 6,35 4/10 4/0,5 4/5

6,6-7,1 6,85 2/10 2/0,5 2/5

7,1-7,6 7,35 1/10 1/0,5 1/5

7,6-8,1 7,85 1/10 1/0,5 1/5

Сумма - - 10(кол-во данных) -

Рисунок 2.3 - Гистограмма

Рисунок 2.4 – Полигон частот

Для построения полигона частот пользуются столбцами 3 и 4 или 3 и 5.