Рассмотрим случай, когда звено приведения совершает вращательное движение. Тогда вся система может быть представлена в виде звена, вращающегося с угловой скоростью wпр с ускорением eпр под действием момента Мпр и имеющее момент инерции Jпр (рисунок 2):
Запишем уравнение движения звена приведения
.
Выполним преобразования, аналогичные тем, которые мы выполним при выводе уравнения |5|.
,
где - угловое ускорение звена приведения.
,
где jпр – перемещение звена приведения;
- угловая скорость звена приведения.
Тогда ,
откуда получаем . |6|
Уравнение |6| - дифференциальное уравнение движения машины в общем виде в случае вращательного движения звена приведения.
Для случая Jпр=const, уравнение |6| принимает вид - уравнение движения звена приведения совершающего вращательное движение, если все звенья механизма вращающиеся и имеют постоянные массовые характеристики.
Уравнение |5| более универсально. Уравнение |6| применяется только в случае, когда звено приведения совершает вращательное движение, а точка может принадлежать звену, совершающему любое движение. На практике чаще используют уравнение |6| в связи с тем, что силы и массы чаще приводят к валу двигателя – вращающемуся звену. Задача динамики машины чаще сводится к нахождению момента двигателя по заданному закону движения машины и некоторым силам, действующим на звенья машины.
Рассмотрим небольшой пример решения дифференциального уравнения движения на примере привода подъема груза. Это может быть кинематическая схема мостового крана, лебедки, подъемной машины и т. п. Кинематическая схема приведена на рисунке 3.
Дано:
Rб – средний радиус навивки каната на барабан;
Q – вес груза;
z1, z2, z3, z4, z5, z6 – числа зубьев колес;
Мдв – момент на валу двигателя;
Jдв,1, J2,3, J4,5, J6,б – массовые характеристики всех звеньев.
Определить ускорение груза - гр.
Поскольку нас интересуют в машине параметры звена, совершающего поступательное движение, то мы всю систему заменяем материальной точкой, движущейся со скоростью Vпр=Vгр и ускорением пр=гр под действием силы Fпр и имеющую массу mпр. Тогда ускорение груза можно найти из дифференциального уравнения движения машины:
.
Силы и массы приводим к грузу:
;
.
Подставим полученное Tмаш в mпр и сократим на 2.
.
Линейную скорость груза выразим через угловую скорость барабана и его радиус
.
Тогда .
Но ;
;
.
Из анализа уравнения mпр видно, что все составляющие, входящие в уравнение, постоянны, следовательно mпр=const (если пренебречь весом каната), тогда
, .
Находим величину Fпр из условия равенства мощностей
, .
Внешние силы – вес груза Q и момент двигателя Mдв. w1 противоположно w6. Момент на валу двигателя должен быть направлен в сторону w1.
Мощность всех сил
.
Тогда
- берем по модулю, т. к. знак передаточного отношения мы учли при определении мощностей.
.
При различных числовых значениях возможны следующие варианты: