Основные требования к сетевой модели

1. События правильно пронумерованы, т.е. для каждой работы (i,j), где i<j. При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм перенумерации событий.

2. Отсутствуют тупиковые события (за исключением завершающего), т.е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа.

3. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа.

4. Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.

5. Если какие-либо работы могут начаться раньше свершения непосредственно предшествующего им события, то работу целесообразно разбить на части с присвоением соответствующих имен промежуточным событиям.

При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.

Значение основных параметров сетевого графика и их расчеты рассмотрим на примере.

Пример 4.3.Построить в соответствии с правилами сетевой график и рассчитать его основные параметры:

	1,2	1,3	1,4	2,5	2,6	3,8	3,11	4,7	4,9	5,6	6,12	7,8	7,10	8,11	9,10	10,12	11,12

Решение.Правила построения сетевого графика:

1) стрелки-работы не должны пересекаться;

2) график должен иметь линейную структуру, то есть события с меньшим номером располагают левее событий, которые имеют больший номер;

3) начальное событие не имеет входных стрелок;

4) конечное событие не имеет исходных стрелок;

5) два события связывает только одна работа;

6) в сети не должно быть событий, в которые не входит ни одна работа, и событий, из которых не выходит ни одна работа;

7) в сети не должно быть циклов и петель.

Строим в соответствии с правилами сетевой график, который изображен на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Сетевой график

Вначале нужно выписать все полные пути, соединяющие начальное и завер­шающее события, найти их продолжительность. В результате сопоставления продолжительностей полных путей выявляется путь, имеющий наибольшую продолжительность – критический путь. Его обозначают L_кр, а его продолжительность – t_кр. В нашем случае это четвертый путь. Его отмечают на графике. Это делается для того, чтобы основное внимание было сосредоточено на работах критического пути, потому что от выполнения этих работ будут зависеть все остальные работы комплекса.

Критический путь является единственным фактором, определяющим продолжительность всего комплекса работ. Изменение продолжитель­ности критического пути влияет на сроки выполнения всех работ графика. Все остальные пути, в отличие от критического, называются ненапряженными. Из всех напряженных путей выделяются близкие к критическому пути, и пути, наименее напряженные.

Продолжительность критического пути определяет срок наступления завершающего события. Увеличение ее приводит к удли­нению сроки выполнения всего комплекса работ, и наоборот, уменьше­ние ведет к сокращению срока выполнения работ. Эти свойства харак­терны только для критического пути, все остальные пути сетевого графика этих свойств не имеют. Некоторое увеличение или уменьшение продолжительности этих путей не отражается на удлинении или сокра­щение срока завершения комплекса работ. Иначе говоря, все ненапряженные пути имеют резервы времени. Эти резервы (полные резервы времени ненапряженных путей) определяются как разность между продолжительностями критического пути и ненапряженных путей­:

, (4.2.1)

где - продолжительность пути , - продолжительность критического пути.

Резервы времени являются важнейшим параметром сетевого графика, которые показывают на сколько может быть увеличена продолжительность данного пути без ущерба наступления завершающего события.

Резервы времени существуют во всех случаях, когда в сете­вом графике имеется более одного пути, ведущего от начального до завершающего события.

Если в сети имеется только один путь, то он и будет крити­ческим, и работы, лежащие на этом пути, не будут иметь резервов времени.

Для исследуемой сетевой модели полные пути, их продолжительность, полные резервы времени представлены в таблице 4.4.

Таблица 4.4

Характеристики полных путей сетевой модели

Полные пути	Продолжительность полных путей	Полные резервы времени путей
: 1, 2, 5, 6, 12	= 18 + 22 + 30 +22 = 92	= 122 – 92 = 30
: 1, 2, 6, 12	= 18 + 22 + 22 = 52	= 122 – 52 = 70
: 1, 3, 11, 12	= 30 +30 + 32 = 92	= 122 – 92 = 30
: 1, 3, 8, 11, 12	= 30 + 25 + 35 + 32 = 122	= 122 – 122 = 0
: 1, 4, 7, 8, 11, 12	= 15 + 9 +20 +35+32 = 111	= 122 –111 = 11
: 1, 4, 7, 10, 12	= 15 + 9 + 5 + 42 = 71	= 122 – 71 = 51
: 1, 4, 9, 10, 12	= 15 + 25 + 15 + 42 = 97	= 122 – 97 = 25

Для событий рассчитывают три харак­теристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Ранний срок свершения события – продолжительность максимального пути от начального до рас­сматриваемого события, причем t_p(1) = 0, a t_p(N) = t_кp(L):

(4.2.2)

Ранний срок указывает наиболее ранний момент наступления рассматриваемого события.

Например, для события 2 имеем =18, поскольку от начального до события 2 ведет единственный путь, продолжительность которого 18. Для нахождения раннего срока свершения события 6, определим продолжительности путей от начального до события 6 – это 70 и 30. Выбираем наибольшую величину – 70. Поэтому = 70. Результаты вычислений представлены в таблице 4.5.

Поздний срок свершения события – это разность между продолжительностью критического пути и продолжительность максимального пути, следующего за данным событием до завершающего:

, (4.2.3)

где – продолжительность максимального пути, следующего за данным событием до завершающего.

Поздний срок указывает наиболее поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, которые следуют за этим событием. Для конечного события поздний срок свершения равняется критическому сроку . Например, от события 7 до завершающего следуют два пути 47 и 87. Выбираем 87, затем вычитаем это число от 122. Имеем . Результаты вычислений представлены в таблице 4.5.

Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеютрезерв R(i):

(4.2.4)

Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

Зная резерв времени каждого события, можно видеть, какой пол­ный резерв имеет максимальный путь, который проходит через данное событие. Это свойство используется при оптимизации сетевых графи­ков.

События, через которые проходит критический путь, резерва вре­мени не имеют. Это объясняется тем, что у этих событий сроки раннего и позднего свершения совпадают.

Таблица 4.5

Характеристики событий

Для работ рассчитывают следующие харак­теристики:

§ раннее начало работы совпадает со сроком раннего свершения начального для этой работы события:

(4.2.5)

§ раннее окончание работы равно сумме раннего начала и продолжительности работы:

(4.2.6)

§ позднее начало работы разности между сроком позднего свершения конечного события для данной работы и продолжительности работы:

(4.2.7)

§ позднее окончание работы со сроком позднего свершения конечного для этой работы события:

(4.2.8)

Резервы времени работ характеризуют собой максимальное время, на которое может быть увеличина продолжительность выполнения работ без увеличения общего срока выполнения комплекса работ.

· полный резерв времени представляет собой разность между поздним и ранним сроками начала работы или между поздним и ранним сроками окончания работы:

(4.2.9)

Полный резерв времени, которым располагают работы и события, сосоит из частныхрезервов времени.

· частный резерв времени первого вида представляет собой такую часть полного резерва времени работы, которую можно использовать на увеличение продолжительности данной работы и в определенных размерах следующих за ней работ, не вызывая сокращения резервов времени ни у одной из предшествующих работ

(4.2.10)

· частный резерв времени второго вида представляет собой такую часть полного резерва времени работы, которую можно использовать на увеличение продолжительности данной работы и в определенных размерах предшествующих ей работ, не вызывая сокращения резервов времени ни у одной из последующих работ

(4.2.11)

Независимый (свободный) резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие - начинаются в ранние сроки. Использо­вание этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ. Он образуется у тех работ, для которых разность между сроком раннего свершения конечного события и сроком позднего свершения начального события будет больше продолжительности этой работы:

(4.2.12)

Важная особенность свободного резерва времени состоит в том, что полное использование его для работы, которая его имеет, не отражается на резервах времени предшествующих и последующих работ.

Отрицательная величина свободного резерва времени показывает на то, сколько времени не будет хватать для выполнения работы к сроку раннего свершения ее конечного события, если работа будет начата с момента позднего свершения ее начального события.

Свободный резерв времени может быть выражен и относительной величиной, которая называется коэффициентом свободы. Коэффициент свободы – это отношение времени между ранним сроком свершения конечного события и поздним сроком начального события к продолжительности работы:

. (4.2.13)

Замечание.

Если свободного резерва нет, то =1.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в пе­рераспределении ресурсов с ненапряженных работ на крити­ческие для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выпол­нения всех работ, а также “цепочек” пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть по формуле (4.2.14):

, (4.2.14)

где – путь максимальной продолжительности, который проходит через работу ; – продолжительность отрезка критического пути, который совпадает с путем .

Он определяет степень срочности работы, позволяет установить очередь их выполнения, если она не определена технологическими связями робот. . Работы критического пути имеют коэффициент напряженности 1. Если , то работу считают подкритической, сроки ее выполнения жесткие, ее следует выполнять в первую очередь после критических работ. Если , то работа является промежуточной по степени напряженности срока ее выполнения. Если , то работа является ненапряженной, ее выполнение можно отложить на некоторый срок, который определяют резервом времени.

В нашем случае для определения коэффициента напряженности (4.2.14) работы (7, 8) находим путь наибольшей продолжительности, который проходит через эту работу – это путь : 1, 4, 7, 8, 11, 12, его продолжительность = 111. Проследим на графике, как пройдет этот путь и где он имеет с критическим путем общие участки. Общие участки (8,11) и (11,12) имеют продолжительность 35 + 32 = 67, тогда коэффициент напряженности равняется . То есть работа (7,8) является подкритической по степени напряженности срока ее выполнения. Аналогично рассчитываем другие коэффициенты напряженности, помня, что коэффициент напряженности работ критического пути равен 1. Перемещая ресурсы с ненапряженных работ на критические, добиваются уменьшения срока выполнения всего комплекса работ.

Все рассчитанные характеристики работ запишем в таблице 4.6.

Таблица 4.6

Характеристики работ сетевой модели

		Сроки наступления работ	Резервы времени
1,2									0,75
1,3
1,4									0,8
2,5									0,75
2,6									0,43
3,8
3,11									0,5
4,7									0,8
4,9									0,79
5,6									0,75
6,12									0,75
7,8									0,8
7,10									0,5
8,11
9,10									0,79
10,12									0,79
11,12

ВЫВОДЫ:

1. Критический срок выполнения комплекса работ составляет 122 временные единицы, то есть все работы данного комплекса можно выполнить за наименьший срок в 94 временные единицы (дни, недели, месяцы и т.п.).

2. События 1, 3, 8, 11, 12 являются критическими, они принадлежат критическому пути сетевой модели графика. Эти события не имеют резерва времени, то есть их нельзя отложить.

3. События 2, 5,6 имеют резерв времени 30 временных единиц, события 9,10 – 25, события 4,7 – 11.

4. Работы (1,3), (3,8), (8,11), (11,12) являются критическими и имеют коэффициент напряженности 1. Их выполнение нельзя отложить и невозможно увеличить срок выполнения этих работ.

5. Работы (1,4), (4,7), (7,8) являются подкритическими. Их должны выполнять в первую очередь после работ критического пути.

6. Работы (1,2), (1,4), (2,5), (3,11), (4,9), (5,6), (6,12), (7,10) являются промежуточными.

7. Работа (2,6) является ненапряженной, она имеет определенный резерв для увеличения ее продолжительности или задержки начала выполнения.

5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО КУРСУ “МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ”

5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”