Частным случаем однофакторных моделей являются модели рядов динамики, которые характеризуют развитие показателя во времени (товарооборота, объема выпуска продукции, производительности труда и т.д.).
Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы. Для изображения часто ряда используют графики и диаграммы, которые позволяют заметить сложившиеся тенденции в изменении показателей. Закономерность в развитии значений ряда в одних случаях проявляется четко, в других – она может быть “размыта” за счет случайных или вполне определенных причин.
Изучая ряды динамики, стремятся выявить основную, главную тенденцию в изменении показателей. Аналитическое моделирование рядов динамики проводит с помощью тех же экономико-математических моделей, что ив случае однофакторных моделей: линейной, параболической, гиперболической, показательной, степенной, логарифмической.
Выравнивание по прямой дает эффект, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты в среднем одинаковы. Параметры уравнения можно интерпретировать так: “а” – среднее значение показателя в базисном году, “b” – его средний абсолютный прирост по годам. Применение гиперболической функции целесообразно в тех случаях, когда темпы роста показателя (или его уменьшения) имеют тенденцию к снижению, а параметры выражают следующие величины: “а” – предельное значение показателя (достижимая норма), а “b” – коэффициент отклонения от нормы. Выравнивание по функции производится в основном, когда темпы роста показателя, рассчитанные по отношению к предыдущему периоду, более или менее постоянны. При этом параметр “b” характеризует средний темп роста изучаемого показателя.
Наибольшая трудность в математическом моделировании (и в выравнивании рядов динамики, в частности) заключается в выборе подходящей модели, формы аналитической зависимости. Иногда вид уравнения можно подобрать, ориентируясь на графическое изображение ряда. Иногда о типе уравнения можно судить, исходя из сути показателя. Но даже когда тенденция развития показателя известна, ее (тенденцию) можно выразить с помощью различных уравнений. Этот момент предопределяет использование нескольких моделирующих функций для выравнивания одного и того же ряда динамики с последующей их оценкой и выбором наиболее предпочтительной.
Параметры выбранных для моделирования функций можно находить различными путями. Наиболее точным приемом является метод наименьших квадратов. На его основе для каждой из функций формируют специальную систему уравнений Гаусса. Для указанных функций приведем соответствующие системы уравнений Гаусса в таблице 3.5:
Таблица 3.5
Системы уравнений Гаусса для простейших моделей
Модель
Уравнение
Система уравнений Гаусса
Линейная
(3.1.22)
Параболическая
(3.1.23)
Гиперболическая
(3.1.24)
Экспоненциальная
(3.1.25)
Степенная
(3.1.26)
Логарифмическая
(3.1.27)
В каждой из систем (3.1.26) – (3.1.31) – анализируемый показатель; – фактор времени; – количество наблюдений; – параметры моделей.
Отчет временного показателя начинают с 1. Основываясь на опытных значениях и , определяют все суммы и подставляют их в системы, в результате чего получают системы уравнений относительно неизвестных параметров. Решая системы, находят конкретные значения параметров и подставляют их в уравнения моделирующих функций, которые должны статистически оцениваться и используются на практике.
Адекватность экономико-математической модели может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации, вычисляемой по формуле (3.1.23). Выбор наиболее предпочтительной модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратического отклонения (остаточной дисперсии), рассчитываемого по формуле (3.1.24). Оценку надежности уравнения проводят по критерию Фишера, вычисляя -статистику.
Пример 3.3. Проанализировать показатели реализации продукции на предприятии за ряд лет. Найти уравнения линейной, параболической и гиперболической, показательной, степенной и логарифмической зависимостей. Проверить адекватность полученных математических моделей, определить наилучшую модель.
Год
Объем реализации изделий, тыс. тонн
19,1
22,9
23,7
23,9
24,5
26,6
25,7
26,1
26,2
27,6
Решение.Данные таблицы показывают, что реализация продукции неуклонно возрастала, хотя происходило это неравномерно. Очевидно, существует ряд факторов, под влиянием которых изменяется величина объема реализации. Некоторые из факторов могут действовать долгосрочно, а другие – кратковременно; некоторые могут быть важными, другие – случайными.
Составим вспомогательную расчетную таблицу 3.6 и на ее основе сформируем системы Гаусса.
Таблица 3.6
Вспомогательные расчеты для формирования систем Гаусса
х
у
x2
x3
x4
уx
yx2
1/x
1/x2
y/x
19,1
19,1
19,1
19,1
22,9
45,8
91,6
0,5
0,25
11,45
23,7
71,1
213,3
0,33333
0,11111
7,9
23,9
95,6
382,4
0,25
0,0625
5,975
24,5
122,5
612,5
0,2
0,04
4,9
26,6
159,6
957,6
0,16666
0,02777
4,43333
25,7
179,9
1259,3
0,14285
0,02040
3,67142
26,1
208,8
1670,4
0,125
0,01562
3,2625
26,2
235,8
2122,2
0,11111
0,01234
2,91111
27,1
0,1
0,01
2,71
245,8
1409,2
10038,4
2,92896
1,54976
66,3133
Продолжение таблицы 3.6
lny
xlny
lnx
lnxlny
(lnx)2
ylnx
2,94968
2,94968
3,13113
6,26227
0,69314
2,17033
0,48045
15,8730
3,16547
9,49642
1,09861
3,47763
1,20694
26,0371
3,17387
12,6955
1,38629
4,39993
1,92181
33,1324
3,19867
15,9933
1,60943
5,14806
2,59029
39,4312
3,28091
19,6854
1,79175
5,87860
3,21040
47,6608
3,24649
22,7254
1,94591
6,31738
3,78656
50,0098
3,26193
26,0954
2,07944
6,78300
4,32407
54,2734
3,26575
29,3918
2,19722
7,17560
4,82779
57,5672
3,29953
32,9953
2,30258
7,59745
5,30189
62,4000
31,9734
178,290
15,1044
48,9480
27,6502
386,385
В последней строке таблицы 3.6 указаны суммы всех значений для каждого столбца.
Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.21):
Решив эту систему, найдем = 20,76, = 0,6945. Таким образом, получим уравнение линейной модели .
Для определения параметров уравнения параболической функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.22):
Решив эту систему, найдем = 18,46, = 1,845, с = - 0,105. Таким образом, получим уравнение параболической модели .
Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.23):
Решив эту систему, найдем = 66,156, = -80,117. Таким образом, получим уравнение гиперболической модели .
Для определения параметров уравнения экспоненциальной функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.24):
Решив эту систему, найдем = 3,034, = 0,295, тогда = 20,799. Таким образом, получим уравнение экспоненциальной модели .
Для определения параметров уравнения степенной функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.25):
Решив эту систему, найдем = 2,993, = 0,135, тогда = 19,947. Таким образом, получим уравнение степенной модели .
Для определения параметров уравнения логарифмической функции запишем систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.26):
Решив эту систему, найдем = 19,858, = 3,126. Таким образом, получим уравнение логарифмической модели .
Для нахождения средней ошибки аппроксимации, остаточного среднеквадратического отклонения, - статистики для построенных моделей построим вспомогательную расчетную таблицу 3.7.
Таблица 3.7
Вспомогательная расчетная таблица
Линейная модель
Параболическая модель
Гиперболическая модель
19,1
21,45
10,97
5,54
9,77
20,20
5,45
1,21
19,18
-13,96
236,81
1093,03
1485,41
22,9
22,15
3,39
0,56
5,91
21,73
5,38
1,37
8,12
26,10
12,25
10,22
2,30
23,7
22,84
3,75
0,73
3,02
23,05
2,81
0,42
2,33
39,45
39,92
248,07
221,13
23,9
23,54
1,54
0,13
1,09
24,17
1,10
0,07
0,17
46,13
48,19
494,03
464,26
24,5
24,23
1,10
0,07
0,12
25,07
2,27
0,32
0,24
50,13
51,13
657,03
652,94
26,6
24,93
6,71
2,80
0,12
25,77
3,24
0,70
1,40
52,80
49,62
686,61
796,55
25,7
25,62
0,31
0,01
1,08
26,25
2,10
0,30
2,79
54,71
53,03
841,62
907,86
26,1
26,32
0,82
0,05
3,01
26,53
1,61
0,18
3,79
56,14
53,51
902,48
996,12
26,2
27,01
3,00
0,66
5,91
26,60
1,49
0,16
4,06
57,25
54,24
964,36
1067,60
27,1
27,71
2,18
0,37
9,77
26,46
2,44
0,42
3,52
58,14
53,39
963,75
1126,56
24,58
33,78
10,92
39,79
27,89
5,15
45,62
652,09
6861,20
604,18
Продолжение таблицы 3.7
Экспоненциальная модель
Степенная модель
Логарифмическая модель
19,1
21,42
10,84
5,39
9,97
19,95
4,25
0,72
21,46
19,86
3,82
0,57
22,30
22,9
22,06
3,79
0,70
6,33
21,91
4,53
0,99
7,15
22,03
3,97
0,77
6,53
23,7
22,72
4,30
0,95
3,45
23,14
2,42
0,31
2,07
23,29
1,75
0,17
1,66
23,9
23,40
2,12
0,25
1,38
24,06
0,66
0,03
0,27
24,19
1,21
0,09
0,15
24,5
24,10
1,64
0,16
0,23
24,80
1,19
0,09
0,05
24,89
1,57
0,15
0,10
26,6
24,83
7,14
3,15
0,06
25,41
4,66
1,41
0,70
25,46
4,48
1,30
0,77
25,7
25,57
0,51
0,02
0,98
25,95
0,96
0,06
1,88
25,94
0,93
0,06
1,85
26,1
26,34
0,89
0,06
3,08
26,42
1,22
0,10
3,40
26,36
0,98
0,07
3,17
26,2
27,12
3,41
0,85
6,47
26,85
2,41
0,42
5,14
26,73
1,97
0,28
4,61
27,1
27,94
2,99
0,70
11,26
27,23
0,48
0,02
7,03
27,06
0,16
0,00
6,13
24,58
37,63
12,22
43,22
22,79
4,14
49,14
20,84
3,45
47,27
В последней строке таблицы 3.7 указаны суммы всех значений соответствующих столбцов.
Для линейной модели средняя ошибка аппроксимации, найденная по формуле (3.1.23), = 33,78/10 = 3,378 меньше 5%. Значит, линейная модель адекватна фактическим данным и пригодна для дальнейшего использования. Остаточная дисперсия, рассчитанная по формуле (3.1.24) при = 2, равна 1,17. Для оценки надежности уравнения линейной модели по формуле (3.1.22), найдем -статистику: =29,16. По таблицам распределения Фишера (приложение Е) найдем = 5,32. Поскольку , то уравнение линейной модели можно считать надежным с вероятностью 0,95.
Проведя аналогичные исследования для остальных моделей, результаты представим в таблице 3.8:
Таблица 3.8
Характеристики оценки построенных моделей
Модель
Линейная
3,378
1,17
адекватна
29,16
5,32
надежна
Параболическая
2,79
0,86
адекватна
62,03
5,59
надежна
Гиперболическая
65,21
-
неадекватна
0,7
5,32
ненадежна
Экспоненциальная
3,76
1,24
адекватна
28,3
5,32
надежна
Степенная
2,28
0,72
адекватна
95,04
5,32
надежна
Логарифмическая
2,08
0,66
адекватна
109,64
5,32
надежна
Из сравнения средних ошибок аппроксимации видно, что только для гиперболической функции она выходит за 5% уровень, у остальных моделей эта характеристика не выходит за 5% уровень и приблизительно одинаковая. Если оценивать преимущество, то, очевидно, что лучшей является логарифмическая модель, поскольку у нее остаточное среднеквадратичное отклонение меньше всего.
3.2. Автокорреляция данных и остатков
В процессе исследования экономических явлений в качестве исходных статистических значений используют экономические величины, характеризующие размер исследуемых показателей и требующие эконометрического анализа и оценки. При этом следует иметь в виду, что показатели временных рядов часто имеют своеобразную особенность: следующее значение в определенной мере зависит от предшествующих значений. Такое явление получило название автокорреляции.
дает эффект, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты в среднем одинаковы. Параметры уравнения можно интерпретировать так: “а” – среднее значение показателя в базисном году, “b” – его средний абсолютный прирост по годам. Применение гиперболической функции 
целесообразно в тех случаях, когда темпы роста показателя (или его уменьшения) имеют тенденцию к снижению, а параметры выражают следующие величины: “а” – предельное значение показателя (достижимая норма), а “b” – коэффициент отклонения от нормы. Выравнивание по функции 
производится в основном, когда темпы роста показателя, рассчитанные по отношению к предыдущему периоду, более или менее постоянны. При этом параметр “b” характеризует средний темп роста изучаемого показателя.
– анализируемый показатель; 
– фактор времени; 
– количество наблюдений; 
– параметры моделей.
-статистику.
= 20,76, 
= 0,6945. Таким образом, получим уравнение линейной модели 
.
.
.
= 3,034, 
.
.
.
= 33,78/10 = 3,378 меньше 5%. Значит, линейная модель адекватна фактическим данным и пригодна для дальнейшего использования. Остаточная дисперсия, рассчитанная по формуле (3.1.24) при 
= 2, равна 1,17. Для оценки надежности уравнения линейной модели по формуле (3.1.22), найдем 
= 5,32. Поскольку 
, то уравнение линейной модели можно считать надежным с вероятностью 0,95.
меньше всего.