Составление системы уравнений по эквивалентной схеме при помощи метода контурных токов и метода узловых потенциалов

Полученная эквивалентная схема реального объекта является аналогом электрической цепи. Поэтому для расчета эквивалентных схем можно исполь­зовать методы электрических цепей. Наибольшее распространение для расчета электрических цепей находят два метода: метод контурных токов и метод уз­ловых потенциалов.

Метод контурных токов

При расчете этим методом полагают, что в каждом независимом контуре эквивалентной схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют отно­сительно этих контурных токов. Для составления уравнений этим способом производят следующую последовательность работ.

Выделяют независимые контуры в эквивалентной схеме. Контуры незави­симы, если в каждый из них входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие.

В каждом конгуре указывают направление контурного тока и его обозна­чение. Управление выбирается произвольно.

Для каждого контура пишут уравнение по второму закону Кирхгофа:

, .

Перед написанием уравнений выбирают направление обхода контуров. Для контура, имеющего ветвь с источником .переменной типа потока (I) и для ко­торого величина контурного тока известна, уравнение не пишут. В смежных ветвях ток равен сумме контурных токов с учетом их направления. Полу­ченная система уравнений является математической моделью объекта.

Для нашего примера получаем 24 дифференциальных уравнений:

Метод узловых потенциалов

При этом методе за неизвестные принимают потенциалы в узлах схемы. Один из узлов эквивалентной схемы выбирают за базовый и заземляют, то есть принимают его потенциал равным нулю. Это не изменяет токораспредедение в схеме. Далее для оставшихся узлов эквивалентной схемы записывают уравне­ние равновесий по первому закону Кирхгофа:

.

Получают систему уравнений относительно токов в ветвях эквивалентной схемы. Последовательность работ для описания эквивалентной схемы методом узловых потенциалов следующая.

В эквивалентной схеме выбирают базовый узел, потенциал которого при­нимают равным нулю.

В каждой ветви эквивалентной схемы выбирают направление тока и его обозначение. Направление тока определяют произвольно.

Для каждого узла эквивалентной схемы, кроме базового, пишут уравнение

равновесия по первому закону Кирхгофа. При этом токи, притекающие к узлу, берут со знаком минус , а токи, утекающие из узла, - со знаком плюс. В резуль­тате получают систему уравнений относительно токов в ветвях эквивалентной схемы.

Токи в ветвях выражаются через падение напряжения (разность потенциа­лов φ - φ_i в ветвях в параметры элементов, содержащихся на ветвях, т.е. через компонентные уравнения элементов системы. В результате этого получают систему дифференциальных уравнении относительно потенциалов в узлах эк­вивалентной схемы, которая является математической моделью объекта.

Составление топологических уравнений:

Составление компонентных уравнений:

Подставляя компонентные уравнения в систему топологических уравнений, получим систему из 13-ти дифференциальных уравнений относительно потенциалов в узлах эквивалентной схемы.

Построение графа системы по эквивалентной схеме.

Переходим от эквивалентной схемы к графу системы. При переходе необходимо для каждого узла эквивалентной схемы указать соответствующий узел (вершину) графа, а для каждой ветви эквивалентной схемы, связывающей определенные узлы, - одну ветвь (ребро) графа, связывающую соответствующие узлы графа.

Составление системы уравнений по графу системы

А)Обобщенный метод

Каждому ребру графа задаем направление и строим по ориентированному графу матрицу М (матрица контуров и сечений), которая отражает структуру системы на основе числовой информации.

М-матрица

По данным матрицы строим топологические уравнения системы, которые имеют вид

(1)

(2)

где Uв, Ux - векторы переменных типа разностей потенциалов на ветвях дерева и хордах;

Iв, Ix – векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд;

Mt - транспонированная М-матрица.

Составляем 27 топологическое уравнение по уравнению (1):

По второму уравнению (2) необходимо составить еще 13 топологических уравнений:

Математической моделью системы является совокупность топологических и компонентных уравнений. Поэтому добавляем компонентные уравнения для каждого элемента системы:

Совокупность топологических и компонентных уравнений представляет собой математическую модель системы и характеризует динамику системы.

Б)Узловой метод

Узловой метод является наиболее распространенным методом формирования математических моделей, который базируется на использовании матрицы инциденций (А - матрицы). Последовательность действия при использовании узлового метода аналогична обобщенному методу. По графу системы строим матрицу А, на основе численной информации А - матрицы записываем топологические уравнения, в совокупности с компонентными уравнениями образуют математическую модель системы.

Топологические уравнения имеют вид

где матрица инциденций,

вектор переменных типа потока.

В компонентных уравнениях переменную U (напряжения) заменяем разностью потенциалов между узлами, которые соединяют данное ребро: