Упражнения

5.6.1. Какова вероятность, что во время 10 часовой поездки придется заклеивать камеру, если в машине есть одно запасное колесо, а среднее время до прокола одного из работающих колес составляет час, т.е. каждое прокалывается с интервалом 400 час.

Решение. Введем обозначения состояний рассматриваемой системы: 0 – все камеры целы, 1 – одна проколота (работает запасная), 2 – две проколоты (требуется заклеивание).

Интенсивность перехода из состояния с меньшим номером в состояние с большим номером

.

Рассмотрим граф переходов рассматриваемого процесса.

Рис.5.4.1.1.

Система дифференциальных уравнений А.Н.Колмогорова для рассматриваемой задачи имеет вид.

В начальный момент , .

Из первого уравнения имеем

или

. (5.6.1.1)

Интегрируя левую и правую части, получим

,

откуда , где , т.к. .

Подставляя это решение во второе уравнение, получим

(5.6.1.2)

Рассмотрим уравнение без свободного члена

или .

То есть получили уравнение, аналогичное (5.6.1.1). Интегрируя его, получим

. (5.6.1.3)

Общее решение уравнения (5.6.1.2) будем искать методом вариации произвольной постоянной, заменяя произвольную постоянную в (5.6.1.3) некоторой дифференцируемой функцией

. (5.6.1.4)

Дифференцируя это выражение, получим

. (5.6.1.5)

Подставляя (5.6.1.5) и (5.6.1.4) в (5.6.1.2), имеем

.

Тогда , соответственно, .

Подставляя полученное выражение в (5.6.1.4), получим

,

где из начальных условий , имеем , т.е.

Подставляя это решение в третье уравнение, имеем

.

Откуда

Подставляя начальные условия , получим .

Таким образом,

.

Отсюда

.

5.6.2. В цех поставили устройство, имеющее блок, вероятность выхода из строя которого за промежуток времени ( ) равна при час С учетом этого закуплена пара запасных блоков. Найти вероятность, что устройство не проработает 400 часов. (К разделу 5.2).

5.6.3. Для того, чтобы перевезти 120 студентов на сельхозработы, заказали три 60-ти местных автобуса. Известно, что на весь путь требуется 5 часов и вероятность того, что автобус выйдет из строя в интервале времени ( ) равна с час . Какова вероятность того, что все студенты будут привезены без задержек? (Все автобусы едут в колонне и в случае необходимости студенты могут пересаживаться из автобуса в автобус). (К разделу 5.2).

5.6.4. Пусть имеется система, состоящая из одного основного элемента и тождественных ему элементов, находящихся в резерве. Основной элемент находится под нагрузкой и в промежутке времени ( ) может выйти из строя с вероятностью . В этом случае основной элемент сразу заменяется на один из резервных. Система отказывает тогда, когда выходят из строя все элементы – основной и резервных. Найти вероятность того, что система проработает время . (К разделу 5.2).

5.6.5. Известно, что приход покупателей в некоторый магазин хорошо описывается простейшим потоком. Установлено, что с вероятностью 0,5 в течении 1 минуты в магазин не заходит ни одного покупателя. Какова вероятность того, что в течение двух минут зайдет один покупатель? Хотя бы один покупатель? (К разделу 5.3).

5.6.6. Поток кораблей, прибывающих в порт, можно приближенно считать простейшим. Известно, что вероятности прихода одного корабля в сутки и двух кораблей в сутки равны. Чему равно среднее время между приходами двух кораблей? (К разделу 5.3).

5.6.7. Поток вызовов на станцию скорой помощи в ночное время можно считать простейшим, причем в среднем за час поступают два вызова. Какова вероятность того, что с 23.00 до 23.30 не поступит не одного вызова? (К разделу 5.3).

5.6.8. Некоторое устройство в процессе эксплуатации может выходить из строя, что приводит к остановке производственного конвейера. Для того, чтобы уменьшить простой, имеется еще одно, запасное устройство, идентичное первому. Если первое устройство ломается, то его заменяют на резервное и начинают ремонтировать. Время ремонта – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром . Поток поломок можно считать простейшим с параметром . Считая, что процесс находится в стационарном режиме, определить долю времени простоя конвейера, вызванного поломкой обоих блоков. (В этом случае сначала ремонтируют одно устройство и его устанавливают, затем сразу начинают ремонт второго). (К разделу 5.4).

5.6.9. Рабочий ремонтирует два одинаковых станка – автомата. Поток поломок каждого станка можно считать простейшим с параметром , время ремонта – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром . Считая, что процесс находится в стационарном режиме, определить доли времени, когда работают оба станка ( ), один станок ( ) и ни одного ( ).(К разделу 5.4).

5.6.10. В грузовом порту имеется три одинаковых причала выгрузки. Судно, прибывающее в порт, сразу встает под выгрузку к свободному причалу, если же такого нет, то встает в очередь. Поток прибывающих под выгрузку судов можно считать простейшим с параметром (судов в сутки). Время выгрузки подчиняется экспоненциальному распределению с параметром (судов в сутки). Определить, сколько, в среднем, судов находится у причалов выгрузки? Сколько находится в очереди? Каковы суммарные суточные потери по порту и судам, находящимся в порту, если в сутки потери одного судна составляют у.е., издержки по причалу в режиме работы у.е., издержки по причалу в режиме простоя у.е.?

Решение. Определим отношение

.

Поскольку не указано общее количество судов, курсирующих на линиях с выгрузкой на рассматриваемых причалах, предполагается подходящей открытая модель СМО с неограниченной очередью. Для нее, поскольку , существуют финальные вероятности. Согласно (5.2.13) имеем

.

Поэтому здесь

.

Среднее число судов, находящихся в порту согласно (5.5.16)

.

В нашем случае получаем

.

У причалов (без учета находящихся в ожидании) находится столько судов, сколько занято причалов, т.е. согласно (5.2.18),

,

здесь

.

В очереди находится, согласно (5.2.17)[13],

.

Здесь

.

Суммарные суточные потери по порту и судам, находящимся в порту составят

.

В нашем случае они равны

.

5.6.11. На автозаправочной станции (АЗС) имеется 4 колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Если колонки заняты, то прибывающие машины встают в очередь. Число мест в очереди практически не ограничено. Определить среднее время, проходящее с момента прибытия машины на заправку, до момента ее заправки и среднее число обслуживаемых на АЗС машин.

Указание. Работа АЗС может рассматриваться как работа системы массового обслуживания с неограниченной очередью. У этой системы существует стационарный режим (проверьте!). Здесь (1/мин.), (1/мин.). (К разделу 5.5).

5.6.12. Имеется буфет с двумя буфетчицами, причем очередь к ним общая. Обслуживание одного покупателя длится, в среднем, 2 минуты. В среднем в буфет прибывает 2 человека в 3 минуты. Определить среднее время, которое затрачивает покупатель от момента прихода в буфет до приобретения покупки. Какова вероятность того, что покупателю не придется стоять в очереди? (К разделу 5.5).

5.6.13. В парикмахерской 2 мастера. В среднем за час в парикмахерскую приходит 4 клиента, а время обслуживания одного посетителя занимает, в среднем, 20 минут. Если оба мастера заняты, то прибывший клиент ждет обслуживания. Сколько, в среднем, парикмахеров будут свободны? (К разделу 5.5).

5.6.14. Две ремонтной бригады обслуживают три автоматические линии. Среднее время между поломками одной линии равно 5 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам. Определить для линии среднее время простоя до ремонта, среднее время простоя с учетом времени ремонта и среднее количество незанятых бригад ремонтников.

Каковы суммарные суточные потери по простоям линий и содержанию ремонтников, если в сутки потери от простоя линии составляют у.е., издержки по бригаде в режиме работы у.е., издержки по бригаде в режиме простоя у.е.?

Решение. Отметим, что СМО является замкнутой. Поскольку согласно (5.3.25) для нее при

,

то

. (5.6.6.1)

Аналогично, согласно (5.3.26), при

. (5.6.6.2)

Для рассматриваемой задачи интенсивность поломок одной линии , интенсивность устранения неисправностей , поэтому .

Анализ замкнутой СМО целесообразно оформлять в виде табл. 5.4.6.1.

Порядок ее заполнения нижеследующий.

1. Вычисляются значения столбца (2).

(см. (5.6.6.1));

(см. (5.6.6.2)).

2. Каждое значение компоненты столбца (3), начиная со стоящего во второй строке, получаем как произведение числа, стоящего левее вычисляемого, и числа, стоящего выше вычисляемого, т.е.

.

Таблица 5.6.6.1.

Расчет замкнутой СМО

						при	при	при
		- 1,8 0,6	1,8 1,08	0,238 0,428 0,257	0,428 0,514	0,476 0,428 -	- - -	- - 0,385
		0,3	0,324	0,077	0,231	-	0,077	0,231
Сумма	4,204	1,000

3. Вычисляем сумму компонент столбца (3)

,

обратная величина которой дает :

,

в рассматриваемом примере .

4. Компоненты столбца (4) получаем умножением числа, стоящего слева от вычисляемого, на величину , т.е.

.

5. Далее, согласно формулам табл. 5.2.5.1 заполняются столбцы (5), (6) и (7).

6. Сумма по столбцу (5) дает среднее количество заявок в системе (неработающих линий)

.

7. Сумма по столбцу (6) дает среднее количество незанятых обслуживающих устройств (ремонтных бригад)

.

8. Сумма по столбцу (7) дает среднюю длину очереди

.

9. Среднее время ожидания определяется аналогично (4.21) из [12] для замкнутой системы в виде

,

для этого заполняется столбец (8) компонентами

,

из которых суммированием получаем

.

Ответ: ; ; .

Суммарные суточные потери по простоям линий и содержанию ремонтников составят

.

В нашем случае они равны

(у.е.)

5.6.15. Группа из трех рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой. Траулеры сдают пойманную рыбу на базу. Среднее время плавания равно четырем суткам. Среднее время обслуживания траулера – сутки. Определить среднее время ожидания траулером разгрузки, если время плавания и время разгрузки – случайные величины, подчиняющиеся экспоненциальному распределению. (К разделу 5.5).

5.6.16. Рабочий обслуживает два станка-автомата. Среднее время между поломками одного станка равно 4 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам. Определить среднее число простаивающих станков и среднее число простаивающих без ремонта станков. (К разделу 5.5).