Основные модели потоков событий

Марковские процессы являются удобным аппаратом для описания потоков событий (поступления требований), т.е. ситуаций, когда с течением времени происходят некоторые случайные события, продолжительность наступления которых можно считать нулевой. Например, последовательность вызовов, поступающих на телефонную станцию, последовательность поступления требований ремонта станков в цехе и т.п.

Рассмотрение потока событий имеет целью получение различных его характеристик. К ним относятся вероятности поступления того или иного числа требований на заданном отрезке времени, среднее число требований, поступающих за данное время, вероятностное распределение длин временных интервалов между соседними требованиями и т.д. Оказывается, первая из названных характеристик является фундаментальной: зная ее можно определить остальные. Введем для нее специальные обозначения:

– вероятность того, что на отрезке времени, начинающемся в точке и имеющем длину (т.е. на отрезке наступит ровно событий из рассматриваемого потока;

(или ) – вероятность того, что на отрезке наступит не менее (или соответственно, не более ) событий.

При этом – вероятность отсутствия событий на рассматриваемом отрезке времени;

– вероятность поступления событий в момент .

Среди различных свойств, которыми могут обладать потоки требований, особый интерес представляют следующие три.

1. Свойство стационарности. Поток событий называется стационарным, если для любого и для любых двух отрезков времени одинаковой длины и выполняется равенство = , т.е. вероятность зависит только от длительности интервала времени и не зависит от момента его начала . В связи с этим для стационарных потоков вместо будем писать просто , т.е. – вероятность того, что число наступлений событий за время для стационарного потока равно .

Часто нестационарность потока бывает связана с колебаниями сезонными (как, например, поток требований на авиабилеты) или суточными (как, например, поток телефонных вызовов, поступающих на АТС). В любом реальном потоке, рассматриваемом на достаточно длинном промежутке времени, можно обнаружить нестационарность. Однако на относительно коротких промежутках времени потоки можно считать стационарными. В связи с этим длинный промежуток времени иногда разбивают на участки стационарности и рассматривают потоки на каждом участке отдельно.

2. Свойство ординарности. Поток называется ординарным, если он удовлетворяет условию: какова бы ни была точка ,

. (5.3.1)

Условие это означает, что вероятность поступления двух или большего числа событий на отрезке [ ] стремятся к нулю (при ), и притом существенно быстрее, чем сама длина отрезка . Поскольку при отрезок [ ] стягивается в точку , то условие (5.3.1) означает, что ни в какой момент времени невозможно поступление двух или более требований.

Условию (5.3.1) можно придать эквивалентную формулировку:

. (5.3.2)

3.Свойство отсутствия последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если условные вероятности поступления требований на произвольном отрезке времени [ ], вычисленные при различных предположениях о распределении моментов поступления требований до , совпадают с безусловной вероятностью .

Отсутствие последействия означает независимость вероятностных характеристик потока на отрезке времени от “истории” потока до этого отрезка, что означает внутреннюю независимость потока.

Для потоков без последействия из формулы полной вероятности следует соотношение

. (5.3.3)

(см. рис.5.3.1.)

Рис.5.3.1.

Если поток является стационарным, то (5.3.3) можно упростить:

. (5.3.4)

Можно показать, что сумма большого числа независимых потоков малой интенсивности является потоком без последействия; при этом слагаемые потоки могут быть с последействием. Такими суммарными потоками являются, например, поток автомашин на дороге с достаточно интенсивным движением, поток поломок или сбоев в работе сложного устройства и т.п.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским.

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Простейший поток есть частный случай пуассоновского (а именно стационарный пуассоновский поток).

Рассмотрим потоки, обладающие отмеченными свойствами, и наиболее часто используемые при моделировании систем массового обслуживания.

Простейшие потоки. В курсе теории вероятностей доказана эквивалентность приведенного определения простейшего потока нижеследующему определению: поток называется простейшим, если для него вероятность наступления событий в интервале времени определяется законом Пуассона:

(5.3.5)

где – параметр потока.

Рассмотрим математическое ожидание числа наступления событий этого потока за время :

,

то есть

. (5.3.6)

В связи с этим параметр называют интенсивностью потока.

Можно показать, что дисперсия удовлетворяет соотношению:

. (5.3.7)

Рассмотрим случайную величину – промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке и найдем ее функцию распределения

.

Перейдем к вероятности противоположного события

.

Согласно (5.3.5)

,

откуда

.

Дифференцируя, найдем плотность распределения

. (5.3.8)

Для математического ожидания и дисперсии величины справедливы формулы

. (5.3.9)