Построение экономико-математической модели.

Система переменных данной экономико-математической задачи представлена основными и вспомогательной переменными. За основные переменные ( ) принимается искомое количество кормов и кормовых добавок в суточном рационе кормления 1 головы скота; эти переменные измеряются в килограммах. Вспомогательная переменная используется для определения суммарного содержания в рационе кормовых единиц.

Все условия задачи записаны в виде линейных уравнений и неравенств (ограничений), которые можно разбить на группы:

· по гарантированному удовлетворению потребности сельскохозяйственных животных в питательных веществах, макро- и микроэлементах;

· по пределам включения отдельных кормов или групп кормов в рацион;

· по соотношению отдельных видов кормов и добавок;

· по определению суммарного количества кормовых единиц в рационе.

Основными ограничениями (с 1 по 15) являются условия по гарантированному удовлетворению потребности сельскохозяйственных животных в питательных веществах, макро- и микроэлементах

где - искомое количество кормов и кормовых добавок в суточном рационе кормления 1 головы скота;

- содержание питательных веществ, макро- и микроэлементов i-го вида в 1 кг j-го вида корма или кормовой добавки;

- минимально допустимое количество питательных веществ i-го вида в рационе.

Эти ограничения составляются на основании данных о содержании питательных веществ, макро- и микроэлементов в 1 кг кормов и кормовых добавок (таблица 16) и их минимальном содержании в суточном рационе кормления.

Например, ограничение, гарантирующее, что в суточном рационе кормления будет содержаться не менее 5,3 к.ед., будет записано в следующем виде:

1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄+0,72X₅+0,48X₆+0,20X₇+0,32X₈+0,20X₉+1,12X₁₀+
0,76X₁₁+0,50X₁₂>=5,5.

Коэффициент 1,20 при X₁ обозначает, что в одном килограмме дробленой пшеницы содержится 1,20 к.ед., коэффициент 0,48 при X₆ ‑ что в одном килограмме сена содержится 0,72 к.ед. и т.д.

Дополнительные ограничения (по пределам включения отдельных кормов или групп кормов в рацион и по соотношению отдельных видов кормов и добавок) разделены на три группы.

Пределы включения отдельных кормов или групп кормов в рацион могут описываться двумя способами: во-первых, через указание минимальных и максимальных границ скармливания отдельных кормов и их групп в процентах от суммарного количества кормовых единиц, содержащихся в рационе; во–вторых, через ограничение максимального суточного потребления отдельных кормов в физической массе.

Первую группу дополнительных ограничений (с 16 по 25) составляют ограничения по установлению минимальных и максимальных границ скармливания отдельных кормов и их групп в процентах от суммарного количества кормовых единиц, содержащихся в рационе

где - искомое количество кормов и кормовых добавок в суточном рационе кормления 1 головы скота;

- суммарное содержание в рационе кормовых единиц;

α_h₁₃, β_h₁₃ - нижняя и верхняя граница включения в рацион h-ой группы корма в процентах.

Например, условие по минимальному (20%) и максимальному (30%) удельному весу концентрированных кормов в рационе имеет вид:

нижняя граница

1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄>=0,20X₁₃ или 1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄ - 0,20X₁₃>=0;

верхняя граница

1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄<=0,30X₁₃ или 1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄ - 0,30X₁₃<=0.

Вторую группу дополнительных ограничений (с 26 по 28) составляют ограничения по максимальному суточному потреблению отдельных кормов в физической массе

где - булевы коэффициенты связи (равны либо 0, либо 1) по i-му виду корма;

- максимальное суточное потребление i-го корма в физической массе.

Ограничения по максимальному суточному потреблению витаминно-травяной муки в размере 1,8 кг, силоса – 30 кг, патоки - 2,0 кг имеют следующий вид:

X₅ <= 1,8

X₉ <=30,0

X₁₁<= 2,0

Третью группу дополнительных ограничений (с 29 по 30) составляют ограничения по соотношению отдельных видов кормов и добавок

где - вид корма, удельный вес которого в h-ой группе кормов ограничен;

- максимальный удельный вес j-го корма в h-ой группе кормов.

Эти ограничения формулируют с использованием алгебраических преобразований. Так, ограничение по включению комбикорма в размере не более 50 % от питательности концентрированных кормов первоначально имеет форму

1,00X₄<=0,50·(1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄)

Проведем преобразования:

1,00X₄ - 0,50·(1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄) <=0,

-0,50·1,20X₁-0,50·1,15X₂-0,50·1,18X₃+(1,00-0,50) ·X₄<=0,

0,600X₁-0,575X₂-0,590X₃+0,500X₄<=0.

Ограничение по включению сена в группу грубых кормов в размере не более 55% их питательности будет записано так:

0,48X₆<=0,55·(0,48X₆+0,20X₇)

Проведем преобразования:

0,48X₆ - 0,55·(0,48X₆+0,20X₇) <=0,

(1‑0,55)·0,48X₆‑0,55·0,20X₇<=0,

0,216X₆‑0,110X₇<=0.

Вспомогательное ограничение (31) накладывается для подсчета суммарного количества кормовых единиц в рационе

где a_j - содержание кормовых единиц в единице j-го корма и кормовой добавки.

Это ограничение имеет следующий вид:

1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄+0,72X₅+0,48X₆+0,20X₇+0,32X₈+0,20X₉+1,12X₁₀+
0,76X₁₁+0,5X₁₂ = X₁₃,

или

1,20X₁+1,15X₂+1,18X₃+1,00X₄+0,72X₅+0,48X₆+0,20X₇+0,32X₈+0,20X₉+1,12X₁₀+0,76X₁₁+
0,5X₁₂-X₁₃= 0.

Значения переменных должны быть неотрицательными:

, .

В качестве критерия оптимальности данной задачи принята минимизация себестоимости рациона

где с_j - себестоимость или цена приобретения 1 кг j-го корма или кормовой добавки/

Целевая функция записывается следующим образом:

Z_min=2,41X₁+2,03X₂+4,27X₃+2,24X₄+2,64X₅+0,79X₆+0,25X₇+0,83X₈+0,53X₉+0,41X₁₀+1,50X₁₁+5,48X₁₂

Вся подготовленная информация сводится в экономико-матема-тическую модель, которая в матричной форме представлена в таблице 18.

Реализация разработанной экономико-математической модели по оптимизации рационов кормления осуществляется с помощью надстройки Поиск решения пункта меню СервисMicrosoft Excel. Порядок работы с данной надстройкой описан в разделе 1.4 настоящего практикума.