Рассмотрим пример первоначального представления сигнала во временной области. Пример временной реализации исходного сигнала приведен на рисунке 16.8.
Рисунок 16.8 – Пример временной реализации сигнала
На данном рисунке отсчеты полезного сигнала обозначены кружочками, а для того чтобы легче было представить форму исходного сигнала, они соединены прямыми линиями. При интерполяции сигнала требуется увеличить количество его отсчетов в единицу времени. При интерполяции новые отсчеты сигнала заполняются нулевыми значениями, как это показано на рисунке 16.9.
Рисунок 16.9 – Сигнал на входе интерполирующего фильтра
Здесь я хотел бы подчеркнуть, что промежуточные отсчеты должны быть заполнены именно нулями. Если их заполнить другими значениями, например повторениями предыдущего отсчета сигнала, то уровень высокочастотных составляющих спектра значительно уменьшится. Казалось бы это облегчит работу интерполирующего фильтра, однако при этом будет искажен и сигнал в интересующей нас полосе частот.
Более того, станет невозможным применять в качестве фильтра-интерполятора фильтры Найквиста, так как будет невозможно получить нулевое значение межсимвольной интерференции между соседними символами в отсчетных точках сигнала.
Спектр цифрового сигнала, изображенного на рисунке 16.9, приведен на рисунке 16.10. На графике четко прослеживается повторяющийся характер его спектра. Теперь, для того, чтобы осуществить интерполяцию этого сигнала, необходимо подавить его нежелательные спектральные компоненты, расположенные на частоте высокочастотных образов входной частоты fд исходного сигнала.
Рисунок 16.10 – Спектр сигнала, приведенного на рисунке 15.9
Подавим все высокочастотные составляющие спектра сигнала при помощи цифрового фильтра нижних частот. Для этого зададимся уровнем подавления высокочастотных составляющих спектра равным –75 дБ. Это эквивалентно 12‑разрядному представлению полезного сигнала. Такой уровень подавления высокочастотных составляющих спектра можно реализовать при помощи цифрового нерекурсивного фильтра со 128 отводами.
Получившаяся в результате расчета амплитудно-частотная характеристика интерполирующего фильтра с конечной импульсной характеристикой при использовании шестнадцатиразрядных весовых коэффициентов приведена на рисунке 16.11.
В полосе пропускания такой фильтр обеспечивает неравномерность коэффициента передачи на уровне 0,001 дБ. Таким образом, учитывая, что фильтр с симметричной импульсной характеристикой обладает линейной фазовой характеристикой, разработанный фильтр практически не вносит искажений в исходный сигнал.
Сигнал, показанный на рисунке 16.9, при прохождении через фильтр с амплитудно-частотной характеристикой, приведенной на рисунке 16.11, принимает вид, изображенный на рисунке 16.12. Обратите внимание, что сигнал на выходе фильтра будет задержан на время, равное групповой задержке фильтра. Для фильтра с конечной импульсной характеристикой это время равно частоте дискретизации выходного сигнала, умноженной на половину количества отводов фильтра.
На рисунке 16.12 приведено 128 временных отсчетов сигнала на выходе фильтра. Они практически сливаются друг с другом, поэтому отдельные отсчеты не выделяются кружочками, как это было сделано на рисунке 16.8. Как видно из приведенного на рисунке графика, сигнал на выходе фильтра практически не отличается от исходного (существовавшего до дискретизации) сигнала.
Рисунок 16.12 – Сигнал на выходе интерполирующего фильтра
При разработке интерполирующего фильтра следует обращать внимание, что, так как реальный фильтр всегда имеет конечную крутизну ската своей амплитудно-частотной характеристики, то полоса частот сигнала, подлежащего интерполяции всегда должна быть меньше половины частоты дискретизации. Только в этом случае интерполяция исходного цифрового сигнала может быть выполнена без искажений.
Теперь рассмотрим, как будет выглядеть этот же сигнал, если из исходного сигнала выделить не нулевой, а первый частотный образ сигнала. Получившийся на выходе полосового фильтра сигнал приведен на рисунке 16.13. Для сравнения на этом же рисунке приведен низкочастотный (нулевой) образ сигнала.
Рисунок 16.13 – Сигнал на выходе интерполирующего фильтра
На рисунке отчетливо видно, что исходные значения сигнала совпадают как в низкочастотном, так и в первом образе сигнала. В момент пересечения нулевого значения фаза несущей частоты первого образа меняет свой знак. Точно так же вели бы себя и второй и третий образ сигнала. Отличие заключается только в значении несущей частоты.
Применение для формирования несущей частоты высокочастотных образов первоначального сигнала неудобно, так как в этом случае можно реализовать всего несколько фиксированных частот. Намного удобнее для переноса спектра исходного сигнала на несущую частоту использовать схему квадратурного модулятора, приведенную на рисунке 3.6. Эта схема позволяет переносить спектр исходного сигнала на любую частоту, не превышающую половину частоты дискретизации.
Интерполяция обычно производится в несколько этапов. Первые два этапа обычно обеспечивают увеличение скорости отсчетов сигнала в два раза каждый. Это связано с тем, что первоначально почти вся полоса частот от 0 до fд/2 занята полезным сигналом, т.е. полезный сигнал и его высокочастотные образы находятся близко друг от друга. В результате от интерполирующего фильтра требуется высокая крутизна ската амплитудно-частотной характеристики и для его реализации требуется большое количество отводов и коэффициентов.
После выполнения этих первых двух этапов интерполяции полезный сигнал занимает только 25% полосы частот. В результате требования к избирательности фильтра уменьшаются, а значит, последующий интерполирующий фильтр может обеспечить больший коэффициент интерполяции.
