Преобразование дробной части числа.

Так как дробная часть числа меньше единицы, то её преобразование выполняется умножением исходного числа на основание новой системы счисления. Целая часть результата умножения будет старшим разрядом числа в новой системе счисления. Дробную часть произведения снова умножают на основание системы счисления. Операция умножения выполняется до достижения требуемой точности результата. Все операции выполняют по правилам исходной системы счисления.

Для примера рассмотрим перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную. Пусть исходное число A будет равно 0,35. Выполним операцию последовательного умножения, как это показано на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Пример операции последовательного умножения

В результате описанных действий получим двоичное представление числа A:

A = 0,35₁₀ » 0,01011=0,34375

В общем случае перевод правильных дробей является приблизительным. Число разрядов в новой системе можно найти исходя из одинаковой точности представления чисел в разных системах счисления. Одинаковая точность числа, записанного в различных системах счисления, достигается при одинаковых весах младших разрядов соответствующей системы счисления. Определить вес младшего разряда числа можно по следующей формуле:

M =q ^-n,

где q – основание системы счисления.

В предыдущем примере для десятичного числа 0.35 вес младшего разряда M = 1/100 = 0.01. В полученном двоичном числе вес младшего разряда будет равен 1/32 » 0,03. То есть при операции преобразования числа в двоичную форму мы ухудшили точность представления числа в три раза. Для одинаковой точности представления чисел в различных системах счисления необходимо выполнить равенство:

,

где p и q – основания старой и новой систем счисления соответственно.

Для определения необходимого количества разрядов в новой системе счисления возьмём логарифм по основанию (p) от этого равенства:

,

откуда найдём требуемое количество разрядов:

Определим необходимое число разрядов в двоичной системе счисления для рассмотренного ранее примера:

В использованном нами примере количество разрядов десятичного числа после запятой n₁₀ = 2, то есть в двоичной системе счисления для той же точности числа количество разрядов должно быть равно:

Если же требуется обеспечить точность представления числа до трёх разрядов после запятой n₁₀ = 3, то количество двоичных разрядов должно быть не менее:

Определим формулы пересчёта количества разрядов, требующихся для записи числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления:

,

В рассмотренном выше примере для записи десятичного числа 0,35₁₀ в восьмеричной форме с той же точностью по этой формуле потребуется три разряда. Проверим это утверждение:

Аналогичным образом можно осуществлять перевод в любую систему счисления. Исключением является перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную. Напомним, что эти системы счисления являются краткой записью двоичного числа, поэтому в этом случае можно переводить числа из одной системы счисления в другую при помощи таблиц перехода 5.6 и 5.7. Двоичное число разбивается на триады для перевода в восьмеричную систему счисления или на тетрады для перевода в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиение начинается от двоичной запятой.