Метод квадратных корней.

Матрица называется транспонированной по отношению к матрице А, если ее столбцы совпадают с соответствующими строками матрицы А, а элементы с одинаковыми индексами – элементы главной диагонали.

Матрица А называется верхней треугольной, если элементы, стоящие ниже главной диагонали – нули.

Матрицу А называют нижней треугольной, если элементы, стоящие выше главной диагонали – нули.

Матрица А называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной матрицей. Для элементов той матрицы

Теорема: всякую симметрическую матрицу с отличными от нуля главными диагональными минорами всех порядков, можно представить в виде произведения двух треугольных матриц разной структуры, причем единственным образом, если зафиксировать диагональные элементы одной из них.

Следствие: всякую симметрическую матрицу, с отличными от нуля, главными диагональными минорами всех порядков, можно представить в виде произведения двух треугольных матриц, транспонированных по отношению друг к другу, причем единственным образом.

На следствии из теорем базируется метод квадратных корней.

Пусть задана система вида (1’) или (2) с симметрической матрицей А, у которой главные диагональные миноры всех порядков отличны от нуля, тогда по следствию теоремы , где Т – верхняя треугольная матрица

T’ - нижняя треугольная матрица

Тогда систему (2) можно записать

(2’)

Обозначим , тогда систему (2) можно записать в виде

То есть решение системы (2) свелось к решению 2х систем (3), (4) треугольного вида.

Суть метода квадратных корней состоит в следующем:

а) заменить матрицу А на матрицы T и T’

б) решить систему ( 3 )

в) решить систему ( 4 )

Метод относится к точным методам, поэтому погрешность метода равна нулю .

Получим расчетные формулы для нахождения матриц и

Учитывая предыдущий шаг ,

По аналогии для i-той строки

, откуда при , получим

Коэффициенты для матриц и вычисляются по формулам

(5)

Решаем систему (3) , где

-тое уравнение имеет вид

При получим

Из 2-го уравнения найдем ,

Из -того уравнения найдем ,

, (6)

По формулам (6) находятся элементы вектора Y.

Прямой ход выполнен.

Обратный ход.

Решаем систему ( 4 ), где , матрица Т – верхняя треугольная

-тое уравнение будет иметь вид

При получим, что

Из предыдущего уравнения при получим неизвестное

Из i-того уравнения получим

(7)

По формулам (7) найдем компоненты вектора X. обратный ход закончен.

Замечание:может оказаться, что для строки s , тогда все коэффициенты этой строки и будут числа мнимые. Метод квадратных корней формально проходит и в этом случае.