Это уравнение состоит из двух слагаемых, поэтому можно предположить, что в качестве модели этого уравнения можно использовать суммирующий усилитель на два входа:
Рис. 139. Суммирующий усилитель
Его выходное напряжение определяется по формуле:
.
(207)
Но пока нельзя утверждать, что это уравнение является аналогом заданного.
Для этого нужно составить критерий подобия или получить его, используя масштабные соотношения.
Для расчета масштаба считаем, что максимальное значение переменных величин, входящих в заданное уравнение, известно. Для усилителя это будет напряжение питания.
Поэтому вводим масштабы по каждой переменной величине:
, , .
(208)
Из масштабных соотношений выразим машинные переменные.
, , .
(209)
Полученные значения подставим в уравнение для выходного напряжения усилителя.
.
(210)
Решим последнее уравнение относительно выходной величины.
.
(211)
Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.
Поэтому вводим масштабы по каждой переменной величине:
, , .
(212)
Из масштабных соотношений выразим машинные переменные
.
, , .
(213)
Полученные значения подставим в уравнение для выходного напряжения усилителя
.
(214)
Решим последнее уравнение относительно выходной величины.
.
(215)
Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.
.
.
(216)
Решим последнее уравнение относительно выходной величины.
.
(217)
Отсюда видим, что полученное уравнение будет тождественно заданному, если равны коэффициенты перед соответствующими переменными.
(218)
Полученная система уравнений и будет являться критерием подобия между исследуемым процессом и уравнением, описывающим работу суммирующего усилителя.
Если считать, что а1 и а2 известны, то из системы можно найти выражения для коэффициентов передачи суммирующего усилителя по каждому входу.
(219)
В общем виде можно записать выражение для коэффициента передачи суммирующего усилителя
В общем виде можно записать выражение для коэффициента передачи суммирующего усилителя:
.
(220)
По аналогии коэффициент передачи интегрирующего усилителя по i-тому входу:
,
(221)
где – масштаб времени, tэл – время протекания процесса в модели, t – время реального процесса.
– процесс исследуется в реальном масштабе времени.
– процесс исследуется в замедленном масштабе времени.
– процесс исследуется в убыстренном масштабе времени.
Пример моделирования дифференциального уравнения второго
порядка
.
.
Пусть задано уравнение:
.
(222)
Программирование (процесс решения) заключается в следующем.
Анализируется возможность решения этого уравнения и единственность этого решения. Например, анализируется, заданы ли начальные условия, известны ли максимальные значения переменных величин. Анализируется возможность решения этого уравнения относительно старшей переменной.
Предположим, что начальные условия задачи:
, .
(223)
Уравнение решается относительно старшей производной:
.
(224)
Если уравнение решается относительно старшей производной и решение единственно можно переходить к составлению структурной схемы решения задачи.
Но бывают случаи, когда перед старшей производной входит коэффициент, зависимый от времени:
В этом случае уравнение невозможно формально решить относительно старшей производной, потому что возникает неопределенность.
,
(225)
так как, если a(t) ® 0 при t ® 0, то система становиться неустойчивой.
Обойти эту ситуацию можно, если ввести формально фиктивную более старшую производную.
(226)
(227)
Эта фиктивная производная характеризует скорость изменения старшей производной, существующей в реальной системе. Поэтому, если в дальнейшем при расчете коэффициента передачи соответствующей фиктивной производной выбрать максимально возможным для данной конкретной машины, то скорость изменения будет максимальна и эту производную можно будет исключить.
Поэтому в процессе решения при включении питания длительность переходного процесса по этой фиктивной производной будет минимальна и как бы через короткий промежуток времени в процессе решения задачи на модели вновь введенная фиктивная производная быстро исчезнет.
При составлении структурных схем решения подобных задач на АВМ используются следующие обозначения:
Рис. 140. Условные обозначения решающих блоков
Порядок составления структурной схемы с учетом введенных обозначений следующий.
Сначала, считая формально, что правая часть уравнения известна, формируем левую часть.
Рис. 141. Предварительная схема формирования заданного уравнения
С учетом инвертирующих свойств сумматора получаем правую часть с противоположным знаком, считая известными.
Если в процессе решения задачи будет необходима информация о старшей производной заданного уравнения необходимо полученную величину проинвертировать. Теперь, считая, что левая часть известна, формируем правую часть уравнения. Поэтому, интегрируя, получим величину пропорциональную x/. В решение уравнения она входит со знаком «–», поэтому инвертировать не надо.
Константа «2» – это величина, пропорциональная правой части заданного уравнения. Физически это означает какое-то внешнее воздействие на объект. Поэтому это моделируется с помощью отдельного устройства. Так как у нас это константа, то для ее моделирования с выхода источника питания через делитель напряжения формируется сигнал, рассчитанный через масштабные величины.
Если же правая часть исходного уравнения имеет вид функции от времени, то для ее моделирования используется специальное устройство машины. Например, блок нелинейных функций.
Если функция линейная, то для её моделирования используется интегратор. Полученную схему надо замкнуть соответствующим образом. Если нас не устраивает решение задачи в инверсном виде, то надо добавить инвертор.
После составления предварительной структурной схемы анализируется возможность её упрощения. Способы упрощения: если в процессе решения задачи нет необходимости в получении информации о старшей производной, то можно первый суммирующий усилитель Y1 совместить с интегрирующим, то есть поставить интегрирующий усилитель с суммированием по входу. Схема будет иметь следующий вид:
Рис. 142. Скорректированная схема решения
Пояснения в соответствии с добавлениями: k11, k12, k13, k21, k31, k41 коэффициенты передачи усилителей по входам.
Обозначим коэффициенты передачи и переходим к их расчету исходя из масштабных соотношений.
.
(228)
Далее нужно рассчитать напряжения соответствующие начальным условиям:
.
(229)
После того, как все рассчитано, производится набор или коммутация этой схемы на машине и идет процесс решения задачи.
Контрольные вопросы
1. Особенности физического и математического моделирования.
2. Поясните смысл и назначение критерия подобия.
3. Назначение и сущность масштабных величин.
4. Расчет коэффициента передачи суммирующего усилителя.
5. Порядок моделирования дифференциальных уравнений.
1. Структура аналого-цифрового вычислительного комплекса.
2. Структура аналоговой вычислительной машины.
Структура аналого-цифрового вычислительного комплекса
По существу АЦВК относят к гибридным вычислительным устройствам и в принципе они могут создаваться с использованием серийно выпускаемых аналоговых и цифровых вычислительных машин. Или при необходимости использовать специально разработанные аналоговые и цифровые специализированные процессоры.
Смысл создания этих комплексов в основном преследует две цели.
1. Повышение быстродействия за счет использования аналоговых подпрограмм. Повысить точность за счет использования цифровых методов обработки.
2. Получить наиболее оптимальные сочетание вычислительной аппаратуры с реальными объектами управления и контроля.
Независимо от решаемой цели структура АЦВК обязательно должна содержать: цифровой процессор, несмотря на его специализацию, имеющий развитую систему команд и прерываний и аналоговый процессор, позволяющий, кроме решения заложенной задачи, производить автоматизированную коммутацию и настройку функциональных блоков.
В процессе работы такого комплекса происходит непрерывный обмен информацией между аналоговой и цифровой частями и поэтому в структуру АЦВК обязательно входят устройства ЦАП и АЦП, элементы аналоговой памяти, многоканальные ключи и коммутаторы.
С учетом сказанного наиболее обобщенную структуру АЦВК можно представить следующим образом.
Рис. 143. Структурная схема АЦВК
Элементы аналоговой памяти это в основном УВХ. Микросхемы серии К1100СК(1,2,3 …).
Структура этих устройств:
Рис. 144. Структура УВХ
Устройство может работать в двух режимах:
1. В режиме выборки, когда под действием управляющего сигнала ключ S замкнут.
2. В режиме хранения, когда ключ S разомкнут.
Поэтому повторитель А1 обеспечивает большое входное сопротивление по отношению к источнику сигнала и малое выходное сопротивление для эффективного заряда (разряда) конденсатора хранения.
Повторитель А2 исключает разряд конденсатора в нагрузку в режиме хранения, когда ключ S разомкнут.
Сказанное можно показать на графике:
Рис. 145. Временные диаграммы работы УВХ
До t1 Uвыхповторяет Uвх так как режим выборки.
t1 – t2– режим хранения.
t2 – t3– выборка.
После t3 – хранение.
То есть это фактически идет квантование сигнала по уровню.
В основе построения аналогового процессора используется решающие усилители, выполненные, как правило, на интегральных операционных усилителях и выполняющие известные математические операции (в основном интегрирование, так как интегрирование более помехоустойчиво).
Гибридные или аналого-цифровые вычислительные комплексы могут составляться из серийно выпускаемых АВМ и ЦВМ или из специально разработанных для этого аналоговых и цифровых процессоров. Обязательной частью таких комплексов являются кодирующие (АЦП) и декодирующие (ЦАП) преобразователи для обмена информацией между аналоговой и цифровой частями комплекса.
При этом введение цифровых устройств управления и памяти в АВМ позволяет увеличить гибкость аналоговой машины, за счет организации последовательных вычислений, автоматической перестройки структуры аналоговой части, возможности разделения алгоритма на аналоговую и цифровую составляющие.
В настоящее время серийно выпускаются комплексы АЦВК-3, ГВС-100 и другие.
.
.
, 
, 
.
, 
, 
.
.
.
.
,
– масштаб времени, tэл – время протекания процесса в модели, t – время реального процесса.
– процесс исследуется в реальном масштабе времени.
– процесс исследуется в замедленном масштабе времени.
– процесс исследуется в убыстренном масштабе времени.
.
, 
.
.
,
известными.
.
.
