Свойства преобразования Фурье

1. Линейность:

если то:

. (2.10)

2. Инвариантность к линейному смещению (задержке) сигнала:

– время задержки:

; – задержанная на копия сигнала , тогда:

(2.11)

линейный фазовый множитель.

Отсюда следует, что амплитудный спектр сигнала не изменится при любой его задержке (линейный сдвиг). Фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое , линейно зависящее от частоты.

3. Масштабируемость спектральной плотности

Пусть , где – масштабирующий множитель, при сигнал сжимается, при – растягивается, кроме того если , то дополнительно происходит зеркальное отражение сигнала по вертикальной оси.

Для :

Для :

(2.12)

или ;

И для :

4. Дифференцирование сигнала:

Тогда

(2.13)

При дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются. Фазовый спектр сдвигается на для положительных частот и на – для отрицательных.

5. Интегрирование сигнала

– это справедливо для сигналов, не содержащих постоянных составляющих, т.е. если .

В противном случае появляется дополнительное слагаемое от постоянной составляющей в виде - функции на частоте .

(2.14)

При этом происходит ослабление высоких частот и усиление низкочастотных гармоник.

6. Спектр свёртки двух сигналов:

Свёртка двух сигналов определяется как:

, тогда спектральная плотность свёртки двух сигналов есть:

(2.15)

7. Спектральная плотность от произведения двух сигналов

Пусть

Тогда спектральная плотность такого сигнала равна:

, (2.16)

т.е. является свёрткой спектральных плотностей двух сигналов.

8. Эффект переноса спектра

Умножим исходный сигнал на гармоническую функцию:

и попытаемся найти спектральную плотность такого сигнала:

.

Представим в виде:

– на основе формулы Эйлера, тогда:

(2.17)

9. Равенство Парсеваля или закон сохранения энергии:

.

Однако на практике сигнал имеет конечную длительность, т.е. финитен:

тогда – и является определённым интегралом, т.е. числом.

Величина является определённым интегралом

тогда – также является определённым интегралом

и .

Под практической полосой частот сигнала понимается полоса частот, в пределах которой передаётся подавляющая доля энергии сигнала (до 90÷95).

Тогда:

Ширина полосы частот называется практической шириной спектра сигнала.