Интегральное преобразование Фурье

Непериодический сигнал может быть в частотной области описан с помощью прямого интегрального преобразования Фурье, однако он для этого должен удовлетворять следующим требованиям:

1) должно выполняться условие Дирихле;

2) должен быть абсолютно интегрируемым, т.е.:

.

Прямое преобразование Фурье (Direct Fourier Transform)имеет вид:

(2.6),

где – спектральная функция или спектральная плотность сигнала (в (2.6) и далее означает комплексную функцию). Иногда в задачах обработки сигналов ее называют фурье-образом или фурье-спектром сигнала.

В этом выражении для его преобразования использована формула Эйлера для записи комплексного числа в тригинометрической форме:

От спектральной плотности можно перейти к амплитудному спектру

(2.7)

и фазовому спектру

(2.8).

Для вещественной функции спектральная плотность на частотах и является комплексно-сопряжённой, т.е. , тогда для амплитудного и фазового спектров справедливы соотношения:

.

Если – чётная, то спектральная плотность является вещественной и чётной и, наоборот, для нечётной – чисто мнимая и нечётная.

Обратное преобразование Фурье (Inverse Fourier Transform) обеспечивает переход из частотной области во временную область заданного сигнала:

; (2.9)

Пример 1. Пусть сигнал является отдельным прямоугольным импульсом (рис.2.3.)

Рис 2.3. Прямоугольный импульс.

Такой сигнал может быть описан как (см. раздел 2.1):

В этом случае спектральная плотность сигнала определяется следующим образом (с учетом выражения (2.6))

.

Амплитудный и фазовый спетры такого сигнала представлены на рис. 2.4 и рис.2.5 соответственно.

Рис. 2.5. Фазовый спектр прямоугольного импульса

Пример 2. Исходный сигнал является сдвинутым прямоугольным импульсом (рис.2.6).

Рис. 2.6. Сдвинутый прямоугольный импульс.

Такой сигнал может быть описан как (см. раздел 2.1):

кой иРис.2.6.

,

Тогда получаем выражение для его спектральной плотности:

На рис. 2.7 представлен амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса такого сигнала, а на рис. 2.8 – его фазовый спектр.

Рис.2.7. Амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Рис. 2.8. Фазовый спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Отметим, что амплитудные спектры на рис.2.4 и рис. 2.7 совпадают , несмотря на сдвиг прямоугольного импульса.

Пример 3. Пусть исходный сигнал имеет вид:

,

Отсюда не трудно получить, что его спектральная плотность имеет вид:

.

Преобразование Фурье является одним из важнейших ортогональных преобразований, используемых в цифровой обработке сигналов. Действительно, вполне физически ясен смысл перехода от временного описания исходного сигнала к его частотному описанию. Кроме того, двумерное преобразование Фурье описывает не что иное, как дифракцию электромагнитных и упругих волн в дальней зоне (дифракцию Фраунгофера) – т.е. на большом (по сравнению с размерами источника и длиной волны) расстоянии от источника [28].