Третья часть задания

Результаты выполнения заданий №1 и №2 представить преподавателю.

Заключение

Литература

ПРИЛОЖЕНИЕ А Термины и определения

А.1 Линейные пространства

Непустое множество элементов , , … называют линейным (или векторным) пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям [ 9 ]:

а) Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем:

- (коммутативность),

- (ассоциативность),

- в существует такой элемент , что для всех (существование нуля),

- для каждого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента);

б) Для любого числа и любого элемента определен элемент (произведение числа на элемент ), причем:

- ,

- ,

- ,

- .

Элементы , ,… линейного пространства называют линейно зависимыми, если существуют такие числа , ,… , не все равные , что

.

Числовую функцию , определенную на некотором линейном пространстве , называют функционалом.

Функционал называют аддитивным, если

для всех ,

он называется однородным, если

( - произвольное число).

Функционал, обладающий свойством однородности, называют мультипликативным.

.

Числовую функцию , определенную на некотором линейном пространстве , называют функционалом.

Функционал называют аддитивным, если

для всех ,

он называется однородным, если

( - произвольное число).

Функционал, обладающий свойством однородности, называют мультипликативным.

А.2 Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называют уравнение [ 5 ], связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , ,…,

.

Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называют линейным (уравнение первой степени относительно совокупности искомой функции и ее производных), если оно имеет вид

,

где , ,…, и это заданные функции от или постоянные, причем для всех значений из области определения уравнения. Обычно уравнение приводят к виду с коэффициентом . Функцию называют правой частью уравнения.

Если , то уравнение называют линейным неоднородным или уравнением с правой частью.

Если , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно , , ,…, ).

Если для всех отрезка имеет место равенство

,

где , , это постоянные числа, не равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции , ,… .

функций , ,… , называют линейно независимыми, если никакая функция из этих функций линейно не выражается через остальные.

Систему дифференциальных уравнений, в которой в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных,

,

где , ,… искомые функции, а это аргумент, называют нормальной.

Систему дифференциальных уравнений, в которой коэффициенты это постоянные, это аргумент, а , ,… это искомые функции

,

называют системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (например, нормальную систему) это значит определить функции , ,… , удовлетворяющие заданной системе уравнений и начальным условиям: , ,… . Интегрирование нормальной системы можно производить следующим образом. Дифференцируем по первое из уравнений

.

Заменяем производные , ,… их выражениями , ,… из нормальной системы уравнения получим уравнение

.

Дифференцируя полученное уравнение и делая аналогичные замены, получим уравнение

.

Дифференцируя далее и производя замены, получим следующую систему дифференциальных уравнений

.

Далее из уравнений определяем , ,… , выразив их через , и производные , ,… (предполагая, что эти операции выполнимы)

.

Подставив эти выражения в уравнение , получим уравнение n-го порядка для определения .

Если исходная система дифференциальных уравнений линейна относительно искомой функции, то и выражение будет линейным.

Решая полученное уравнение, определим : .

Дифференцируя это выражение раз, найдем производные , ,… как функции от , , ,… . Подставляя эти функции в уравнения для , ,… получим

.

Для удовлетворения решения заданным начальным условиям необходимо найти значения постоянных , ,… .

Рассмотрим пример интегрирования следующей системы дифференциальных уравнений

при начальных условиях , .

Дифференцируя по получим

.

Подставив сюда выражения и из заданных уравнений, получим

или

.

Далее, находим выражение и подставляем его в только что полученное уравнение, из чего получаем

или

.

Общее решение последнего уравнения есть

.

Для удовлетворения начальных условий необходимо чтобы и . Отсюда , . Таким образом, решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям, будут иметь вид

,

.

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что из первых уравнений можно определить функции , ,… . Возможно, что переменные , ,… исключаются не из , а из меньшего числа уравнений. В этом случае получим уравнение, порядок которого ниже .

А.3 Комплексные числа

Комплексным числом называют [ 1, 2, 6 ] сумму действительного и мнимого чисел ( и – действительные числа, - мнимая единица). Мнимую единицу ( ) определяют следующим образом: . Мнимая единица обладает свойствами: , , и т.д.

Два комплексных числа и считают равными, если равны их действительные ( ) и мнимые ( ) части.

Два комплексных числа и называют сопряженными.

Комплексное число можно представить вектором на комплексной плоскости (рис. а.1), проведенным из начала координат в точку .

Длину вектора ( ), изображающего комплексное число, называют модулем этого числа ( ). Аргументом комплексного числа ( ) называют угол между осью действительных значений и вектором, изображающим комплексное число ( ).

Рис. А.1 – Комплексная плоскость

Вещественную и мнимую части комплексного числа обозначают следующим образом .

Выделяют алгебраическую, показательную и тригонометрическую формы представления комплексного числа:

- алгебраическая форма;

- показательная форма;

- тригонометрическая форма.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел:

,

.

Показательная форма удобна при умножении, делении, извлечении корня и логарифмирования комплексных чисел:

,

,

,

,

.

Тригонометрическая форма удобна при переходе от показательной формы к алгебраической форме комплексного числа:

,

.

Умножение комплексного числа на величину приводит к повороту вектора комплексного числа против (по) часовой стрелки на без изменения длины вектора.

Сопротивление, содержащее активную и реактивную составляющую, представляют как комплексное число ( - активная, - реактивная часть).

А.4 Гармонические функции

Гармоническим током (напряжением) называют ток, периодически изменяющийся во времени по синусоидальному закону [ 1, 6 ]. Мгновенное значение гармонического тока определяет следующим выражением

, где:

Рис. А.2 ‑ Гармоническая функция

- амплитуда гармонического сигнала (максимальное значение);

- период гармонического сигнала (время одного колебания);

- угловая частота (скорость изменения фазы);

- начальная фаза (значение фазы в момент времени );

- фаза (аргумент синусоидального сигнала).

График гармонической функции представлен на рис. а.2.

Мгновенное значение гармонического сигнала заменяют комплексным значением, например:

,

.

Комплексную величину, представляющую гармоническую функцию времени, отмечают точкой наверху ( ). Иногда комплексные величины подчеркивают снизу ( ).

Для описания работы линейной электрической схемы гармонического тока в установившемся режиме используют систему алгебраических уравнений, составленных по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа [ 3 ].

Для алгебраизации интегро-дифференциальных уравнений применяют комплексные величины. В этих уравнениях дифференцирование и интегрирование мгновенного значения переменных заменяют умножением комплексных величин этих переменных на комплексные числа и соответственно:

,

, .

Полученную таким образом систему алгебраических уравнений можно решать относительно неизвестных комплексных величин.

А.5 Законы Ома и Кирхгофа

Для описания электрической цепи (совокупности устройств и объектов, образующих путь для электрического тока) используют некоторую эквивалентную схему. Выделяют следующие топологические элементы [ 6 ], образующие схему электрической цепи.

Ветвью называют участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток.

Узлом называют место соединения ветвей электрической цепи.

Контуром называют любой замкнутый путь, образованный узлами и ветвями.

Графом называют изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками (ветвями графа), а узлы представлены точками (узлами графа).

Деревом называют любую совокупность ветвей графа, соединяющих все узлы графа без образования контуров.

Первый закон Кирхгофа говорит о том, что алгебраическая сумма токов в узле равна или нулю или алгебраической сумме источников тока в том же узле

,

.

Число линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно n-1, где n это число узлов рассматриваемой схемы.

Второй закон Кирхгофа говорит о том, что алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре схемы равна или нулю или алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре

,

.

Число линейно независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно m-n+1, где m это число ветвей, а n это число узлов рассматриваемой схемы.

Закон Ома для участка цепи, содержащей сопротивление, емкость и индуктивность выглядит следующим образом:

- для комплексного значения гармонического тока и напряжения;

- , , для тока и напряжения как функции времени.

Формулы вычисления значений последовательного и параллельного соединения сопротивлений, представлены в табл. а.1.

Частотные и мгновенные временные характеристики цепей представлены в табл. а.2.

Табл. А.1 – Соединения сопротивлений

Обозначение	Вычисление	Описание
		Последовательное соединение
		Параллельное соединение

Табл. А.2 – Частотные и временные характеристики цепей

Обозначение цепи	Частотная область	Временная область

Рассмотрим применение законов Ома и Кирхгофа для составления алгебраических уравнений в частотной области и интегро-дифференциальных уравнений во временной области на примере схемы последовательного R, C, L контура (рис. а.3).

Рис. А.3 – Последовательный R, C, L контур

В частотной области, при гармоническом входном воздействии , уравнение составлено по второму закону Кирхгофа будут выглядеть следующим образом

.

Ток в цепи вычислим по формуле .

Напряжение на индуктивном элементе вычислим по формуле

учитывая, что

, ,

получим выражение

.

Выделив, вещественную и мнимую части выражения, получим

алгебраическую форму комплексного числа (зависящего от частоты ) для напряжения .

Выделив, вещественную и мнимую части выражения, получим

алгебраическую форму комплексного числа, зависящего от частоты , для напряжения .

Во временной области уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, представлено в главе 3.2 и приложении А.6.

А.6 Переходные процессы

Переходные (нестационарные) процессы возникают в результате коммутаций, происходящих в электрических цепях. Под коммутацией понимают различные включения, выключения, переключения пассивных и активных ветвей и элементов электрической цепи, приводящие к изменению схемы или ее параметров. Считают, что коммутация совершается мгновенно. Для момента коммутации существуют следующие правила.

Ток и магнитный поток в ветви с индуктивным элементом не могут изменяться скачком, и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией. Условия непрерывности тока и магнитного потокосцепления в цепи с индуктивным элементом рис. а.4:

, , .

Рис. А.4 – Схема коммутации с индуктивностью

Напряжение и заряд на емкостном элементе не могут изменяться скачком, и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией. Условия непрерывности напряжения и заряда в цепи с емкостным элементом рис. а.5:

, ,

.

Рис. А.5 – Схема коммутации с емкостью

Независимые начальные условия (значение тока или потока в индуктивном и напряжения или заряда на емкостном элементах в момент коммутации) определяются по законам коммутации.

Зависимые начальные условия (значения токов и напряжений в момент коммутации) определяются по схеме, образованной после коммутации по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.

Независимые и зависимые начальные условия схемы, представленной на рис. а.6 будут следующие:

- независимые начальные условия для тока ;

- независимые начальные условия для напряжения .

Рис. А.6 – Зависимые начальные условия

Для определения зависимых начальных условий используем законы Кирхгофа и определенные ранее значения тока и напряжения , . Для цепей, образованных после коммутации, составим уравнения Кирхгофа с учетом значений , .

Полученную систему алгебраических уравнений решим относительно искомых величин , , .

зависимые начальные условия для токов , ;

зависимые начальные условия для производной .

Для расчета переходных процессов на цифровых вычислительных машинах используют, как наиболее удобный, метод переменных состояний. Для после коммутационной схемы, вместо одного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка, решают n дифференциальных уравнений первого порядка относительно выбранных переменных. Переменными могут быть напряжения на конденсаторах, токи в индуктивных катушках, и другие величины, по начальным состояниям которых (и входным воздействиям) определяют искомые переходные функции.

В качестве примера рассмотрим переходный процесс в последовательном колебательном контуре (рис. а.3). Ток в схеме является общим для всех элементов схемы. Считаем начальные условия нулевыми , . В схеме до коммутации нет запаса энергии.

Независимые начальные условия схемы будут следующие , , .

Зависимые начальные условия схемы вычисляются из следующих соображений .

Интегро-дифференциальное уравнение контура, составленное по второму закону Кирхгофа и закону Ома, будет выглядеть так:

.

Дифференцируя левую и правую части этого уравнения, получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка

.

Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка будет выглядеть так:

.

Такая система дифференциальных уравнений, решаемая численными методами, может использоваться микропроцессорной системой, для обработки входного сигнала в реальном времени.

А.7 Сигналы с ограниченной полосой частот

В теории сигналов используют теорему Котельникова (теорема отсчетов). Эта теорема формулируется следующим образом [ 2 ]:

Если наивысшая частота в спектре функции меньше чем , то функция полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал , ограниченный по спектру наивысшей частотой , может быть представлен рядом

.

В этом выражении обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а обозначает выборки функции в моменты времени . Функция вида

обладает следующими свойствами:

- в точке функция , а в точке , где это любое целое положительное или отрицательное число, отличное от , ;

- спектральная плотность функции равномерна в полосе частот и равна .

Так как функция отличается от только сдвигом на оси времени на , то спектральная плотность функции будет

.

Очевидно, что ряд представляющий функцию , точно определяет в точках отсчета поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из этой функции (величины ). Для доказательства того, что ряд определяет функцию в любой момент , а не только в точках отсчета воспользуемся правилами разложения функции по ортогональной системе. В этом случае разложение производится по функциям вида для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма равна

.

Общая формула определения значений коэффициентов ряда, справедливая для обобщенного ряда Фурье выглядит следующим образом

.

При этом предполагается, что это квадратично-интегрируемая функция (энергия сигнала конечна). Для определения коэффициентов воспользуемся следующей формулой [ 2 ]

.

Окончательно получим следующее выражение , из которого следует, что коэффициентами ряда являются выборки функции в точках . Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции , то ряд сходится к функции при любом значении .

Если взять интервал между выборками меньше чем , то ширина спектра функции будет больше, чем у спектра функции . Это повысит точность представления сигнала и ослабит требования к АЧХ фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал.

При увеличении по сравнению с спектр функции становится уже, чем спектр функции . Коэффициенты при этом являются уже выборками не заданного сигнала , а некоторой другой функции , спектр которой ограничен наивысшей частотой .

В случае, когда длительность сигнала конечна и равна , а полоса частот по-прежнему равна , мы имеем дело, строго говоря, с несовместимыми условиями, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром.

На практике всегда можно определить наивысшую частоту спектра так, что бы потери энергии, обусловленные отсечением частот, превышающих , содержали пренебрежительно малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала .

При таком допущении для сигнала длительностью с полосой частот общее число независимых параметров (число значений ) которое необходимо для полного задания сигнала очевидно будет

.

При этом значение функции будет вычисляться по следующей формуле (при отсчете времени от первой выборки)

.

Число иногда называют числом степеней свободы сигнала , так как даже при произвольном выборе значений сумма определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности интервала времени . Число иногда называют также базой функции.

Энергия сигнала вычисляется (с учетом ) по формуле

.

Средняя мощность сигнала вычисляется по формуле

.

Средняя за время мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых .

В том случае, когда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции для функции можно составить ряд с базисной функцией

который выглядит следующем образом

Используя равенство схожее с получим

.

Если временной интервал между двумя соседними выборками не должен превышать , то частотный интервал не должен превышать . При ширине спектра , охватывающий область частот , число выборок равно .

В общем случае выборки являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра (действительная и мнимая части). Если учесть, что и комплексно-сопряженные функции, то задание одной из них однозначно определяет другую. В этом случае спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот с числом независимых параметров или степеней свободы сигнала , как и представлении сигнала во временной области.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Средства пакета MathCad

Б.1 Интерфейс MathCad

Интерфейс Mathcad по своей структуре во многом схож с интерфейсом других Windows-приложений.

При открытий файла Mathcad.exe открывается рабочее окно Mathcad. Автоматически загружается файл Untitled 1 (Безымянный 1), который представляет собой шаблон Normal рабочего документа. На экране присутствуют главное меню, и пять рабочих панелей: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование) и Math (Математическая), Controls (Контроль), Resources (Документация).

Помимо, всего этого, при открытии файла, автоматически загружается Tip of the day (Совет дня) и окно Mathcad Resource (Документация Mathcad). Перед работой их надо закрыть.

В окне Tips of the day необходимо снять флажок Show Mathcad tips at startup (Показывать совет дня при загрузке) и нажать на кнопке Close.

Главное меню Mathcad расположено в верхней строке рабочего окна (рис. б.1). Щелчок мышью на любом пункте меню открывает подменю с перечнем команд:

1. Управление рабочим окном Mathcad.

2. File (Файл) — создание, открытие, сохранение, пересылка по электронной почте и печать на принтере файлов.

3. Edit (Правка) — правка текста (копирование, вставка, удаление фрагментов и т. д.).

4. View (Вид) — управление внешним видом документа в рабочем окне Mathcad, команды создания файлов анимации.

5. Insert (Вставка) — вставка различных объектов в документ.

6. Format (Формат) — форматирования текста, формул и графиков.

7. Tools (Инструменты) — управления вычислительным процессом.

8. Symbolics (Символические вычисления) — символьные вычисления.

9. Window (Окно) — расположение окон с различными документами на экране

10. Help (Помощь) — вызов справочной информации,

Щелчок мышью на пункте подменю вызывает появление соответствующего диалогового окна.

Рис. Б.1 – Главное меню Mathcad

Панели инструментов предназначены для быстрого выполнения часто применяемых команд (рис. б.1).

Standard(Стандартная) – выполнение действий с файлами, редактирование документа, вставка объектов и т. д.

Formatting (Форматирование) – форматирование текста и формул.

Math (Математика) – вставка математических символов и операторов в документ.

Математическая панель со всеми остальными панелями инструментов показана на рис. б.2. Щелчок мышью на любом из значков вставляет соответствующий символ или шаблон выполнения математической операции на место курсора.

1. Calculator (Калькулятор) — вставка шаблонов основных математических операций, цифр, знаков арифметических операций.

2. Graph (График) — вставка шаблонов графиков.

3. Matrix (Матрица) — вставка шаблонов матриц и матричных операций.

4. Evaluation (Оценка) — операторы присвоения значений и вывода результатов расчета.

5. Calculus (Вычисления) — вставка шаблонов дифференцирования, интегрирования, суммирования.

6. Boolean (Булевы операторы) — вставка логических операторов.

Рис. Б.2 – Математическая панель

7. Programming (Программирование) — необходимые операторы, для создания программных модулей.

8. Symbolics (Символика) — вставка операторов символьных вычислений.

9. Greek (Греческие буквы).

Recources (Дополнительные ресурсы) содержит список электронных книг, включенных в оболочку Mathcad.

Controls (Контроль) содержит кнопки для дополнительного контроля над работой Mathcad-документа, которые предназначены для украшения документа, как средства диалога с пользователем. Как правило, их использование предполагает написания пользовательских DDL-файлов. Более подробые сведения содержатся в меню Help раздел Developer’s Referance.

Debug (Отладка) служит для трассировки выполнения программ и включения (остановки) процесса трассировки (вывода промежуточных результатов расчета на экран).

При наведении курсора на любую из кнопок панели инструментов, рядом с ним появляется всплывающая подсказка — короткий текст, поясняющий назначение кнопки.

Б.2 Построение выражений и их вычисление

Перед работой в MathCad курсор имеет вид крестика. В момент ввода выражения курсор имеет вид синего уголка, охватывающего вводимое выражение. Имя выражения может состоять из латинских, русских, греческих и других букв и цифр, знаков подчеркивания (_), штриха (`), символа процента (%), знака бесконечности, вводимых с клавиатуры.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха, символа процента (%), также не могут включать в себя пробелы. Символ бесконечности может быть только первым символом в имени.

Mathcad воспринимает заглавные и строчные буквы как различные идентификаторы, это же касается букв, изображенных разными шрифтами.

В Mathcad нет различий между именами переменных и функций. Если определить сначала функцию f(x), а потом переменную f, окажется невозможным использовать f(x) в последующих расчетах где-либо ниже определения f.

Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц измерения, функций. Имена можно переопределить, но это уничтожит их встроенные значения и этими константами, функциями пользоваться будет нельзя.

Оператор присваивания (:=) расположен на математической панели Calculator (рис. б.3). В дальнейшем оператор присваивания лучше набирать с клавиатуры, нажав клавишу «двоеточие» (:).

Набрав вычисляемое выражение, нажмите клавишу (=) — появится численный результат (рис. б.3).

Рис. Б.3 – Пример построения математических выражений

Цепкие операторы — это возведение в степень, извлечение корня, знаменатель дроби (рис. б.4). Чтобы вырваться из цепкого оператора, необходимо выделить клавишей пробел или клавишей → (стрелкой вправо) нужную часть выражения, тогда следующая вводимая операция будет относиться ко всему выделенному выражению.

Рис. Б.4 – Построения выражений «с цепкими операторами»

Редактирование объектов Mathcad введенных выражений производится обычным для всех Windows-приложений способом

Б.3 Стандартные функции

Удобство и эффективность расчетов в Mathcad прежде всего определяется возможностью и легкостью создания функций.

Как правило, функция имеет следующий вид: слева название функции (с параметрами в скобках), справа, после оператора присваивания :=, вычисляемое выражение.

Переменные величины должны быть записаны в параметры после имени функции в скобках. Все величины из правой части, которые не входят в параметры левой части, должны быть заданы численно левее и выше функции. В противном случае Mathcad указывает на ошибку.

Дискретная переменная. Дискретная переменная, выполняет роль оператора цикла. Использование дискретной переменной позволяет построить графики, вывести таблицы результатов расчета. Дискретная переменная определяет ряд значений переменной, для которых вычисляется функция. Этот ряд значений функции можно вывести в виде графика или таблицы.

Дискретная переменная может задавать целые, и дробные значения переменной, но обязательно равноотстоящие друг от друга, например: x:=0..5– ряд целых чисел от 0 до 5

x := 1,1.1..5 = – ряд дробных чисел, где 1 – первое число, 1.1 – второе число, 5 – последнее число. Интервал между числами 1.1-1 =0.1.

Две точки – знак диапазона нельзя набирать с клавиатуры. На клавиатуре необходимо нажать клавишу ; (точка с запятой) или в математической панели выбрать Matrix (значок матрицы) m..n.

Форматирование чисел. Форматирование чисел позволяет изменить формат вывода чисел.

Mathcad вычисляет выражения с точностью до 20 знаков, но при этом выводит не все