Основы электротехники

u Решение. Составим расширенную матрицу системы, выписав коэффициенты системы и дополнив их столбцом свободных членов.

Расширенная матрица системы имеет вид .

Проведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:

~	т.к. а₁₁¹ 0, то умножая (мысленно) первую строку матрицы на числа (– 2), (– 4) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей, исключим переменную х из всех строк начиная со второй.
~	Первая и вторая строка приведены к ступенчатому виду. Умножим (мысленно) вторую строку матрицы на числа (– 1 и прибавим полученную строку соответственно к третьей строке, исключим переменную у из третьей строки.

Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений. Последнее уравнение дает неизвестную z = – 2.

Подставим ее во второе уравнение и найдем у = 2, подставим z и у в первое уравнение и вычислим х = 1.

Решением системы будут неизвестные (1, 2, –2). t

Литература

1. Григорьев С.Г., ЗадулинаС.В.Математика–М.: ОИЦ «Академия, 2009

2. Яковлев Г.Н. (под редакцией). Математика (2 книги) –М.: ИД «Оникс», 2009

3. Острейковский В.А. Математика. –М.: ОИЦ «Академия, 2010

4. В.П.Григорьев, Ю.А. Дубинский. Элементы высшей математики. –М.: Академия, 2008

5. Березина Н.А., Максина Е.П. Математика –М.: ИД «Риор», 2007

6. Пехлецкий И.Д. Математика –М.: ОИЦ «Академия», 2008

7. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. –М.: ОИЦ "Академия", 2010

8. И.Л. Соловейчик. В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике для техникумов. –М.: «Мир и образование», 2003

9. В.С. Шипачев. Высшая математика. –М.: ВШ, 2009

10. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. –М.: Айрис-пресс, 2007

11. Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике (1 часть) –М.: Айрис Пресс, 2009

12. Д. . Письменный. Конспект лекций по высшей математике (2 часть) –М.: Айрис Пресс, 2009

13. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Н.Ш. Кремера - М.: Банки и биржи , 2007

14. В.С. Шипачев. Математический анализ. –М.: ВШ, 2006

15. В.С. Шипачев. Задачник по высшей математике. –М.: ВШ, 2008

16. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений. –М.: Наука, 1988

Основы электротехники

Вариант 5.

1.Определить токи и напряжения на всех резисторах цепи, если напряжение на зажимах генератора U = 96 B, сопротивления резисторов R₁ = 28 Ом, R₂ = 30, Ом R₃ = 10, Ом R₄ = 50 Ом (рис1.1). Внутреннее сопротивление источника R_i = 2 Ом.

Как измениться величина тока в цепи, напряжение на зажимах генератора, если в цепи R₂ произойдет обрыв?

Решение.

1. Определим эквивалентное сопротивление цепи. Резисторы и

соединены последовательно, их общее сопротивление:

Схема соединений примет вид (рис. 1)

Рис. 1.

Резисторы и соединены параллельно, общее сопротивление участка:

Схема соединений примет вид (рис. 2)

Рис. 2.

Резисторы и соединены последовательно, экввалентное сопротивление цепи:

Схема соединений примет вид (рис. 3)

Рис. 3.

2. Величина тока в цепи (на резисторе ):

3. Определим токи и напряжения на всех резисторах цепи.

Рис. 4.

Падение напряжения на резисторе :

Напряжение на резисторе

Ток в резисторе

Ток в резисторах и

Напряжение на резисторах и

ЭДС генератора

4. Если в цепи произойдет обрыв, то резисторы и будут

соединены последовательно.

Рис. 5.

Эквивалентное сопротивление цепи будет равно:

Величина тока в цепи:

Напряжение на зажимах генератора:

2.На кольцевом чугунном сердечнике размещена катушка, имеющая 200 витков. Диаметр сердечника кольца d = 1 см, средняя длина линии l_ср = 0,25 м. По катушке проходит ток I = 3 A (рис 2.1, а).

Определить напряженность магнитного поля H, величину магнитной индукции B и магнитный поток Ф в сердечнике, индуктивность катушки L и относительную магнитную проницаемость чугуна m_r. Для решения задачи использовать кривую намагничивания чугуна.

Решение.

1. Напряженность магнитного поля кольца

2. Пользуясь кривой намагничивания чугуна, определим величину

магнитной индукции

3. Магнитный поток внутри тороида

4. Индуктивность катушки

Так как а то

5. Относительная магнитная проницаемость чугуна

3.Катушка, индуктивность которой L = 25,5 мГн и активное сопротивление R = 6 Ом подключены к источнику переменного тока с напряжением U = 40 B.

Определить ток в цепи I, активную мощность P, реактивную мощность Q, полную мощность S, угол сдвига фаз между током и напряжением (Фи), если частота тока f = 50 Гц.

Рассчитать как изменится соотношение сопротивлений R и X_L, если частота тока возрастает до 5000 Гц? Каким из них пренебречь на этой частоте? Привести электрическую схему цепи, построить в одном масштабе векторную диаграмму для частот тока 50 Гц, 5000 Гц.

Решение.

1. Определим индуктивное сопротивление катушки:

2. Полное сопротивление катушки:

3. Ток в цепи катушки:

4. Активная, реактивная и полная мощности цепи:

5. Определим угол сдвига фаз между током и напряжением:

6. При частоте тока активное сопротивление катушки не

изменится. Индуктивное сопротивление будет равно:

Следовательно, величина индуктивного сопротивления увеличится в 100 раз.

Ток при частоте равен

При данной частоте можно пренебречь активным сопротивлением катушки.

7. Электрическая схема цепи и векторная диаграмма для частот тока

50 Гц и 5000 Гц представлены на рис. 6.

Рис. 6.

Построение векторной диаграммы цепи с последовательным соединением элементов удобнее начать вектора тока. От произвольной точки плоскости произвольном направлении откладывают вектор I (рис. 3). Напряжение на активном сопротивлении R совпадает по фазе с током, поэтому вектор направлен параллельно вектору тока I.

Напряжение на катушке , опережает ток по фазе 90° . Из конца вектора откладывают вектор под углом 90°, причем, угол отсчитывают от тока против часовой стрелки.

Соединяя начало вектора с концом , получают вектор напряжения U, приложенного к цепи.

При частоте тока напряжение на активном сопротивлении напряжение на индуктивном сопротивлении

4.Для цепи переменного тока (рис 3.1). известно что при напряжении U = 200 B полная мощность S, потребляемая цепью, составляет 1 кВА. Ток в первой ветви I_A = 3A.

Определить величину тока в неразветвленной части цепи I, ток второй ветви I_C, активное сопротивление R и емкость C, коэффициент мощности цепи cos. Частота цепи f = 1000 Гц.

Рассчитать как изменится соотношение токов в ветвях I_A\I_C, если частота цепи уменьшится в 10 раз.

Сопротивлением какой ветви можно пренебречь на этой частоте? Ответ обосновать расчетом.

Решение.

1. Полная мощность цепи:

откуда ток в неразветвленной части цепи:

2. Ток второй ветви равен:

3. Величина активного сопротивления:

4. Величина сопротивления ветви конденсатора:

5. Емкость конденсатора:

6. Коэффициент мощности цепи:

7. При уменьшении частоты цепи в 10 раз величина тока на активном

сопротивлении не изменится. Величина сопротивления ветви конденсатора будет равна

Величина тока во второй ветви

Соотношение токов при частоте

Следовательно, при уменьшении частоты цепи в 10 раз, соотношение токов в ветвях увеличится в 10 раз. При частоте тока сопротивлением в цепи конденсатора можно пренебречь.

5.Для исследования свойств трехфазной системы, соединенной по схеме "треугольник", собирают электрическую цепь, используя в качестве нагрузки три ламповых реостата, состоящих из ламп мощностью P_H = 100 Вт, рассчитанных на напряжение U_H = 220 B. Линейные напряжения U_л = 220 B. В фазе А включено 3 лампы, в фазе В включено 5 ламп, в фазе С 7 ламп.

Определить мощности, потребляемой в каждой фазе P_AB, P_BC, P_CA и мощность трехфазной системы P; фазные токи I_AB, I_BC, I_CA и токи в линейных проводах I_A, I_B, I_C. Линейные токи следует определять графически построив, в масштабе векторную диаграмму. Вычислить сопротивление одной лампы R_л и сопротивление нагрузки каждой фазы R_AB, R_BC, R_CA.

Решение.

1. Мощности, потребляемые в каждой фазе:

2. Мощность трехфазной системы:

3. Определим фазные токи:

4. Определим сопротивление одной лампы из формулы

5. Сопротивление нагрузки каждой фазы

6. Строим в масштабе векторную диаграмму. Векторную диаграмму

/рис. 7/ строим в такой последовательности. Выбираем масштаб изображения векторов тока и наносим их на векторную диаграмму напряжений. Чтобы найти линейные токи , необходимо к концам векторов прибавить соответственно векторы с обратным знаком. Геометрическая сумма каждой пары векторов будет представлять собой векторы линейных токов.

Рис. 7.

Измерив длины векторов токов, найдем величины линейных токов:

6. В однофазном трансформаторе, понижающем напряжение с 220В до 6,3В, применены соответственно провода сечениями S₁=1мм² и S₂=9мм². Какой обмотке (высшего или низшего напряжения) принадлежит провод сечением S=1мм²? Ответ обосновать.

Решение.

Поперечное сечение провода обмоток трансформатора определяется по формулам:

где , сечение первичной и вторичной обмоток трансформатора; ток в первичной и вторичной обмотках трансформатора: плотность тока в сечениях обмоток трансформатора.

Ток в обмотках трансформатора можно определить по формуле

;

Тогда отношение сечений проводов обратно пропорционально напряжению в обмотках трансформатора. Следовательно, провод меньшего сечения (S=1мм²) принадлежит первичной обмотке трансформатора, напряжение которой

7. Для обдува ксеноновой лампы в кинопроекторе 23КПК-2 применен однофазный асинхронный конденсаторный двигатель АВЕ-042-2МУЗ, имеющий номинальные данные: рабочее напряжение U=220В, частоты вращения ротора n₂=1400об/мин, мощность на валу P₂=40Вт, коэффициент мощности cos φ=0,6; коэффициент полезного действия ŋ=0,6

Рассчитать число полюсов вращающегося магнитного поля p, скольжение S, потребляемую от сети мощность P₁ и ток I₁, а также потери мощности в двигателе ∆P. Частота сети ƒ=50Гц.

Решение.

1. При номинальной частоте вращения ротора асинхронного двигателя

n₂=1400об/мин синхронная частота вращающегося магнитного поля равна Величина скольжения равна

Число полюсов вращающегося магнитного поля

2. Мощность, потребляемая двигателем от сети

3. Номинальный ток в обмотке статора двигателя

4. Потери мощности в двигателе