Точность представления данных при решении прикладных задач

Как при разработке математической модели, так и при исследованиях, проводимых с помощью таких моделей, приходится работать с численным представлением информации. По ряду причин числа, отражающие величины вещественного типа в прикладных расчетах обычно представляются с погрешностью (ограниченная длина разрядной сетки ПЭВМ или другого устройства обрабатывающего числовую информацию). Кроме того, все измерения, осуществляемые в процессе деятельности человека, имеют определенную погрешность, обусловленную свойствами измерительных устройств.

По этим причинам при работе с данными важной является оценка абсолютной погрешности их представления.

Пусть а — точное значение числа, а* — приближенное его значение, погрешностью Δ числа а называется разность между приближенным и точным значением числа

Δ = а* - а

абсолютной погрешностью Δа числа а называется абсолютная величина погрешности

Δa = |Δ| == |а*- а|

относительной погрешностью δа числа а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенного числа

Обычно при описании погрешности представления данных используется форма

а= а* ± Δа.

Погрешности можно разделить на три класса.

1. Неустранимая погрешность, возникающая за счет неточностей в математическом описании задачи и неточности задания исходных данных.

2. Погрешность метода. Она возникает за счет использования приближенного метода решения задачи.

3. Вычислительная погрешность. Она происходит при вычислениях за счет округления чисел.

При представлении чисел часто используется понятие «количество значащих цифр». Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его изображении, отличная от нуля или нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.

Считается что, п первых значащих цифр числа верные, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда выраженного n-й значащей цифрой, считая слева направо.

Правило округления:

¾ если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся цифры оставляют без изменения;

¾ если первая из отброшенных цифр больше 5, то последняя цифра увеличивается на единицу;

¾ если первая из отброшенных цифр равна 5 и после нее есть отличные от нуля цифры, то последняя цифра увеличивается на единицу;

¾ если первая из отброшенных цифр равна 5 и после нее все остальные равны нулю, то последняя из оставшихся цифр остается без изменения.

Если положительное приближенное число имеет пверных знаков, то его относительная погрешность не превосходит 10 ^{n - 1}.

Необходимо иметь в виду, что при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр в промежуточных результатах обычно не превышает число верных цифр более чем на 2 единицы.

Следует помнить:

¾ предельная абсолютная погрешность суммы или разности чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

¾ предельная относительная погрешность суммы слагаемых одного и того же знака не превосходит наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

¾ предельная относительная погрешность произведения (частного) двух отличных от нуля чисел не превосходит суммы относительных предельных погрешностей сомножителей (делимого и делителя).