Отчет по результатам

Отчет по результатам содержит информацию о трех компонентах задачи оптимизации: целевой функции (Целевая ячейка), плана (Изменяемые ячейки), и ограничений (Ограничения) рис. 28.

Рис. 28

1 – начальное значение целевой функции при начальном опорном плане (3);

2 – максимальное или минимальное значение (в зависимости от задачи) целевой функции. В данном случае - 30000 денежных единиц;

3 – начальный опорный план;

4 – оптимальный план задачи. В данном случае, чтобы получить максимальную выручку в размере 30000 денежных единиц, нужно производить 100 единиц товара А и 75 единиц товара Б;

5 – показывает количество использованных ресурсов на производство товаров А и Б при оптимальном плане;

6 – формулы ограничений;

7 – показывает влияние ограничений на конечный результат. Если статус «связанное», тогда данное ограничение влияет на полученный план, если «не связан» - значит не влияет. В данном случае ресурс 1 и 4 имеют статус «не связан» - это значит, что эти ресурсы не ограничивают возможности в производстве, что нельзя сказать про ресурс 2 и 3, которые использованы полностью;

8 – разница между имеющемся в наличие количеством ресурсов и использованных при полученном плане.

Пример 2. Оптимизация производства при ограничении спроса

Планирование производства красок при ограниченном спросе на них. Цель данного планирования заключается в максимизации объемов производства.

Фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (E) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на производство 1тонны красок приведены в таблице 4.

Таблица 4

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2т в сутки. Оптовая цена одной тонны краски Е – 3000 руб. краски I – 2000. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель (т.е. каковы переменные модели)?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять переменные?

В нашем случае фабрике необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются:

x_i – суточный объем производства краски I

x_e - суточный объем производства краски Е.

Суммарная суточная прибыль от производства красок I и Е равна z = 3000* x_e + 2000* x_i. Целью фабрики является определение среди допустимых значений x_e и x_i таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т. е. целевую функцию z.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на x_e и x_i.

· Объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно - x_e и x_i ≥ 0.

· Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас каждого из исходных продуктов, следовательно:

x_e + 2* x_i ≤ 6

2*x_e + x_i ≤ 8

· Кроме того, ограничения на величину спроса на краски таковы:

x_i - x_e ≤ 1

x_i ≤ 2

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать

z = 3000* x_e + 2000* x_i.

при следующих ограничениях:

x_e + 2* x_i ≤ 6

2*x_e + x_i ≤ 8

x_i - x_e ≤ 1

x_i ≤ 2

x_e , x_i ≥ 0.

Заметим, что данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Решим данную задачу с помощью программы Поиск решения, которая вызывается соответствующей командой Сервис ► Поиск решения.

Отведем ячейки А3 и В3 под значения переменных x_i и x_e (см. рис. 29).

Рис. 29

В ячейку C4 введем функцию цели

=3000*A3+2000*B3

в ячейки А7:А10 введем левые части ограничений

=A3+2*B3

=2*A3+B3

=B3-A3

=B3

а в ячейки В7:В10 – правые части ограничений.

После этого выберем команду Сервис ► Поиск решения и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 30.

Рис. 30.

После нажатия кнопки Выполнить открывается окно Результаты поиска решения, которое сообщает, что решение найдено. Выберите вариант Сохранить найденное решение и нажмите кнопку ОК.

Результаты расчета задачи (см. рис. 31).

Рис. 31
.

Пример 3. Транспортная задача

Планирование перевозок (транспортная задача). Цель данного планирования заключается в минимизации транспортных затрат.

Предположим, что некоторая фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в разных городах и условно обозначены как «Фабрика 1», «Фабрика 2», «Фабрика 3» и «Фабрика 4». Объемы ежедневного производства товаров фабрик приведены в таблице 5.

Таблица 5

Центры распределения товаров фирмы располагаются в другой группе городов и их ежедневные потребности приведены в таблице 6.

Таблица 6

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в таблице 7.

Таблица 7. Транспортные расходы

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Построим математическую модель данной задачи. Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть x _ij – объем перевозок с i -й фабрики в j – й центр распределения. Функция цели – это суммарные транспортные расходы, т.е.

4 5

Z = ∑ ∑ c_ij x_ij

i=1 j=1

Где с _ij – стоимость перевозки единицы продукции с i -й фабрики в j – й центр распределения.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

· Объемы перевозок не могут быть отрицательными

· Так как модель сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены.

В результате имеем следующую модель:

Минимизировать:

4 5

Z = ∑ ∑ c_ij x_ij

i=1 j=1

При ограничениях:

∑ x_ij =b_j, j Є [1,5]

i=1

∑ x_ij =a_i, i Є [1,4]

j=1

x_ij ≥ 0_j, i Є [1,4], j Є [1,5]

где a_i – объем производства на i – й фабрике, bj – спрос в j – м центре распределения.

Для решения этой задачи с помощью средства Поиск решения введем данные, как показано ниже (рис. 32).

Рис. 32

В ячейки В3:F6 введены стоимость перевозок. Ячейки B10:F13 отведены под значения неизвестных (объемы перевозок). В ячейки G3:G6 введены объемы производства на фабриках, а в ячейки B7:F7 введены потребности в продукции в пунктах распределения. В ячейку G14 введена целевая функция =СУММПРОИЗВ(B3:F6;B10:F13)

В ячейки B14:F14 введены формулы, определяющие объем продукции, доставляемой в центры распределения.

В ячейки G10:G13 введены формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.

Теперь нужно выбрать команду Сервис ► Поиск решения и заполнить открывшееся диалоговое окно как показано на рис. 33.

Рис. 33.

С помощью кнопки Параметры следует вызвать диалоговое окно Параметры поиска решения и установить в нем флажок Линейная модель. Программа Поиска решения находит оптимальный план поставок продукции и соответствующие этому плану транспортные расходы (см. рис. 34).

Рис. 34.

Задачи на оптимизацию для самостоятельного решения.

Задача1.

Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех типов (тип 1, тип 2 и тип 3). Расход микросхем задается следующей таблицей:8

Таблица 8.

Стоимость изготовленных приборов одинакова.

Ежедневно на склад завода поступает 400 микросхем типа 1 и по 500 микросхем типов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства приборов каждого типа, если производственные мощности завода позволяют использовать запас поступивших микросхем полностью?

Сохраните найденное решение в виде сценария.

Продолжение предыдущей задачи.

Найдите оптимальное соотношение дневного производства приборов каждого типа, если стоимости приборов не одинаковы и составляют соответственно: Прибор А - 20ед., Прибор В – 40ед., Прибор С – 25ед. Сохраните найденное решение в виде сценария.

Продолжение предыдущей задачи.

Решите эту задачу, если имеются ограничения по сбыту приборов: Прибор А – 100шт., Прибор В – 80шт., Прибор С – 200шт. Сохраните найденное решение в виде сценария.

Задача2.

Фирма выпускает два типа деталей (А и Б). Для этого она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка фирмы, приведены в таблице 9.

Таблица 9.

Каждая отливка, из которой изготавливают деталь А, стоит 20 рублей. Стоимость отливки для детали Б – 30 рублей. Продажная цена деталей равна, соответственно, 50 и 60 рублей. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков 200, 140 и 175 рублей, соответственно. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей А и Б, составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Задача 3.

В некотором регионе имеется 4 карьера по добыче и производству гравия для бетонных заводов и 5 заводов по производству бетона.

Нужно найти схему оптимальных перевозок для удовлетворения потребностей бетонных заводов в гравии (откуда и куда), при котором суммарные транспортные затраты были бы минимальными.

Производственные возможности карьеров по производству гравия (в условных единицах) приведены в таблице 10.

Таблица 10.

Потребности бетонных заводов в гравии (в условных единицах) приведены в таблице 11.

Таблица 11.

Стоимость перевозки условной единицы гравия с карьеров на бетонные заводы приведена в таблице 12.

Таблица 12

[1] Суть этого метода легче всего пояснить на примере. Для имущества стоимостью 50000 руб. и сроком эксплуатации 5 лет при любой остаточной стоимости, меньшей 18000 руб., амортизация за первый год составит 50000/5*2, или 20000 руб., за второй год – (50000-20000)/5*2, или 12000 руб. То есть на самом деле амортизация равна удвоенной величине текущей балансовой стоимости имущества. В случае других значений коэффициента вместо 2 нужно подставлять соответствующее значение коэффициента.

[2] Подробнее параметры поиска рассмотрены в параграфе Параметры программы Поиск решения

[3] Если команда Поиск решения не активна, нужно произвести установку программы Поиск решения, для чего нужно выполнить команду Сервис ► Надстройки и в появившемся диалоговом окне установить флажок Поиск решения.