В основе математического описания волновых процессов лежат следующие соображения. Пусть в точке М(r1), мы можем охарактеризовать процесс функцией u(r1, t) = φ(t) (рис. 4.1,а). В другой, достаточно отдаленной, точке P(r2) процесс не будет наблюдаться до тех пор, пока он не будет передан средой. Тогда в точке наблюдения будет обнаружен процесс u(r2, t) = ψ(t) (рис. 4.1,б).
Рис. 4.1. К пояснению понятия волновых процессов
При этом закон зависимости функции u от времени может оказаться измененным. В простейшем случае в точке Р(r2) будет обнаружено лишь запаздывание того, что происходило в точке М(r1). При этом ψ(t) = φ(t + τ), где τ - время, требуемое для прохождения пути |r2 - r1| = l со скоростью v.
Положим, что в пространстве какие-либо изменения происходят только в направлении z. Тогда в соответствии со сказанным волновой процесс характеризуется функцией:
(4.1)
Пусть при z = 0 эта функция u(0, t) = φ(t) имеет вид, показанный на рис. 4.2,а. Тогда при z = l (рис. 4.2б) процесс будет описываться зависимостью, отличающейся от исходной лишь сдвигом: u(l, t) = u(0, t - l/v).
Рис. 4.2. Распространение волны
Рассмотренный волновой процесс - это плоская однородная волна в не деформирующей ее среде.
Обратимся к рис. 4.2,в. На нем для двух моментов времени t1 и t2 построена величина u(z, t) как функция от расстояния z.
Зафиксируем какую-либо фазу процесса, то есть мгновенное значение. На рис. 4.2,а, б, в выбрано значение u = а. Плоскость с любой фиксированной фазой называется фронтом волны. Рассмотрим плоскость z = const. Из рис. 4.2,в видно, что за время τ = t1 - t2 она переместилась на расстояние l = vτ.
Распространение волны можно рассматривать и как движение ее фронта. Кривые на рис. 4.2,в, построенные для моментов t1 и t2, называют мгновенными снимками процесса.
Как выразить волну, распространяющуюся не в направлении z, а в противоположном? Для этого нужно изменить знак скорости v. Считая величину скорости положительной, мы должны в формуле (4.1) заменить аргумент t - z/v на t + z/v.
4.2. Гармонические волны
Конкретизируем выражение (4.1) для закона гармонических колебаний, описываемых формулой (3.1). В результате получим описание гармонической волны:
(4.2)
Параметр γ = ω/v называется волновым числом, а v - фазовой скоростью.
На рис. 4.3,а построены два мгновенных снимка гармонической волны. При каждом фиксированном времени t величина u(z, t) по формуле (4.2) имеет косинусоидальное пространственное распределение. Его период называется длиной волны. Длина волны - расстояние, на котором фаза изменяется на 2π. Длина воны обозначается символом λ. Таким образом, γλ = 2π. То есть, волновое число может быть выражено и через фазовую скорость и через длину волны:
(4.3)
Учитывая то, что ω = 2πf , получим:
(4.4)
Распространение гармонической волны отображается смещением косинусоиды вдоль оси z со скоростью v. Это иллюстрирует рис. 4.3,а.
Рис. 4.3. Гармонические волны
Пусть навстречу друг другу распространяются две гармонические волны. При этом функция в точке с координатами (z, t) может быть определена по формуле:
(4.5)
Если амплитуды и фазы прямой и обратной волн равны, формула (4.5) примет вид:
(4.6)
Такой процесс называется стоячей волной.
Из рис. 4.3,б видно, что в каждый момент времени имеется неподвижная косинусоида. Ее нули не смещаются вдоль оси z.
С помощью метода комплексных амплитуд для гармонической волны (4.2) можно записать комплексное представление:
(4.7)
где
,
.
В рамках метода комплексных амплитуд волновые числа также могут быть комплексными:
(4.8)
Величина α называется коэффициентом затухания, а β - коэффициентом фазы.
Внесем формулу (4.8) в выражение (4.7) и возьмем действительную часть. В результате получим:
(4.9)
Если α = 0, формулы (4.2) и (4.9) совпадают. Если α > 0, это затухающая волна, изображенная на рис. 4.3,в.
Отношение u(z)/u(z + l) = ехр (αl) показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны на пути l. Обычно это отношение логарифмируют и получают величину L, называемую затуханием, которая измеряется в неперах [Нп] либо децибелах [дБ]:
или
(4.10)
Распространение затухающей волны пояснено на рис. 4.3,в. На нем показано смещение мгновенного снимка. При этом экспоненциальная огибающая не смещается. Можно записать следующее выражение для коэффициента фазы:
(4.11)
Здесь фазовую скорость можно рассматривать как скорость смещения фронта с нулевой амплитудой. Длина волны λ, уже не являющаяся периодом и также определяется по нулям.
4.3. Виды волн
Выше рассматривались скалярные волны: процесс описывался скалярной величиной u. Если волновой характер имеют компоненты некоторого вектора, то говорят о векторной волне.
Рассмотрим величину
(4.12)
Поверхность постоянной фазы такой волны задается выражением:
(4.13)
В общем случае поверхности постоянной фазы не являются параллельными плоскостями, как это было ранее. То есть волна может быть неплоской. Если к тому же на этих поверхностях фронта амплитуда не принимает постоянного значения, то волна является неоднородной.
Рис. 4.4. Последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны
Неплоская и неоднородная волна может быть локально плоской или локально однородной в некоторой области пространства. Это значит, что рассматриваемый участок фронта близок к элементу плоскости или амплитуда на нем практически постоянна. Оба этих свойства участка фронта волны могут наблюдаться одновременно.
Уравнение поверхности фронта (4.13) может принимать простой вид в той или иной криволинейной системе координат. Пусть φ(х, у, z) = γr. Если r - координата цилиндрической или сферической системы, то мы имеем цилиндрическую или сферическую волну. На рис. 4.4 показаны последовательные положения фронта цилиндрической (сферической) волны, распространяющейся от источника Q.
Такие волны называют расходящимися, поскольку можно представить себе также сходящуюся волну, направление распространения которой везде противоположно изображенному. В этом случае поверхности фронта сходятся к точке.
Если процесс, описываемый уравнением (4.14), зависит только от t и z, уравнение принимает более простую форму:
(4.15)
Можно убедиться, что рассматривавшаяся ранее плоская однородная волна является решением уравнения (4.15). Это легко сделать путем подстановки формулы (4.1) в (4.15). При этом функция φ в формуле (4.1) может рассматриваться как любая дважды дифференцируемая функция.
Решением будет также обратная волна, получаемая при смене знака фазовой скорости. Общее решение волнового уравнения (4.15) можно представить в виде наложения прямой и обратной волн:
(4.16)
Здесь u+(ξ) и u-(ξ) - произвольные дважды дифференцируемые функции.
Перейдем к гармоническим колебаниям и используем метод комплексных амплитуд, т. е. будем рассматривать временную зависимость вида exp(jωt + φ). Тогда в формуле (4.14) можно сделать замену д2/дt2 → -ω2 и оно примет следующий вид:
(4.17)
Здесь γ = ω/v.
Это однородное уравнение Гельмгольца. Для одномерного процесса, зависящего от одной координаты z уравнение Гельмгольца примет вид:
(4.18)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение отвечает волновому уравнению (4.15). Общее решение уравнения (4.18) имеет вид:
,
.
или 
