СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

2.1. Градиент длины направленного отрезка

Рис. 2.1. Определение расстояния между точками

Рассмотрим способ определения переменного расстояния между двумя точками Р и Q (рис. 2.1) Положение этих точек описывается радиус-векторами r и r'. Представим эти радиус-векторы в декартовой системе координат с началом в точке 0:

Тогда длина направленного отрезка QP = r - r’ определяется следующим выражением:

Градиент этого скаляра можно определить с помощью формулы (1.14):

(2.1)

Здесь символом r_0Q обозначен орт с направлением r - r'. Расстояние |r - r'| - это функция положения точки Р при фиксированной точке Q.

Если зафиксировать точку Р, расстояние |r - r'| необходимо рассматривать как функцию координат х', у', z’. Градиент по этим координатам записывается в виде:

(2.2)

Штрих, отмечающий градиент, используется для обозначения операции по штриховым координатам.

В дальнейшем встретятся такие скалярные функции от |r - r'|, как |r - r'|^-1 и |r - r'|^-2. Вычисляя для них grad или grad', следует использовать формулу (1.29) вместе с формулами (2.1) или (2.2).

2.2. Операции векторного анализа в криволинейных координатах

Обозначения криволинейных ортогональных координат и относящихся к ним величин приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Обозначения элементов криволинейных ортогональных систем координат

Метрические коэффициенты (коэффициенты Лямэ) участвуют в соотношениях вида dl_i = h_idq_i, где dq_i - дифференциал координаты, a dl_i - дифференциал длины по этой координате.

Две наиболее распространенные криволинейные системы координат, сферическая и цилиндрическая, изображены на рис. 2.2. Они показаны вместе с декартовой системой, которая указывает начало отсчета углов. Из рис. 2.2,а видно, что для сферической системы координат h₂ = r есть радиус дуги угла υ, a h₃ = г sin υ - радиус дуги угла α, проходящей через точку Р. Для цилиндрической системы координат (рис. 2.2,б) h₂ = r есть радиус дуги угла α.

Рис. 2.2. Сферическая (а) и цилиндрическая (б) системы координат

В таблице 2.2 приведены обозначения элементов этих систем.

Таблица 2.2

Основные криволинейные координаты

Смысл метрических коэффициентов понятен из рисунка. Орты по угловым координатам обозначаются так же, как и углы (например, орт υ₀ для координаты υ). Это единичные векторы, направленные по касательной к соответствующим дугам в сторону возрастания углов.

Координаты точки, определенные в разных системах, связаны простыми и очевидными соотношениями:

Декартова и цилиндрическая системы координат:
	(2.3)		(2.4)		(2.5)
	(2.6)		(2.7)

Декартова и сферическая системы координат:
	(2.8)		(2.9)		(2.10)
	(2.11)		(2.12)
	(2.13)

Формулы, выражающие операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах, имеют следующий вид:

	(2.14)
	(2.15)
	(2.16)

Применение оператора Лапласа к скалярной функции дает следующий результат:

(2.17)

Формулы (2.14) - (2.17) легко конкретизируются в сферических и цилиндрических координатах при помощи данных из таблицы 2.2.