Лекция 10. Смешанное расширение матричных игр. Свойства решений матричных игр

Исследование в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x– это набор чисел x = (x₁,..., x_m) удовлетворяющих соотношениям

x_i³ 0 (i= 1,m), =1.

Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y– это набор чисел

y = (y₁, ..., y_n), y_j ³ 0, (j = 1,n), = 1.

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

Определение. Средний выигрыш игрока 1 в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

E(A, x, y) == x A y^T (27)

Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А,х,y), а второй – за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А,х,y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие х и y,при которых достигается верхняя цена игры

Е (А,х,y). (28)

Аналогичной должна быть ситуация и для игрока 2, т.е. нижняя цена игры должна быть

Е (А, х, y). (29)

Подобно играм, имеющим седловые точки в чистых стратегиях, вводится следующее определение: оптимальными смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы х^о, у^о соответственно, которые удовлетворяют равенству

Е (А,х,y) = Е (А, х, y) = Е (А, х^о, у^о). (30)

Величина (30) называется при этом ценой игры и обозначается через u.

Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: х^о, у^о называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они образуют седловую точку:

Е (А, х, у^о)£ Е (А, х^о, у^о)£ Е (А, х^о, у) (31)

Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются решением матричной игры.

Основная теорема матричных игр имеет вид:

Теорема (о минимаксе). Для матричной игры с любой матрицей А величины

Е (А, х, y) и Е (А,х,y) (32)

существуют и равны между собой.

Обозначим через G (Х,Y,А) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию х Î Х, игрок 2 – y Î U, после чего игрок 1 получает выигрыш А = А (х, y) за счёт игрока 2.

Определение. Стратегия х¹ игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией х², если

А (х¹, y)³ А (х², y)(А (х¹, y)> А (х², y)), y Î U. (33)

Стратегия y¹ игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией y², если

А (х, y¹)£ А (х, y²)(А (х, y¹)< А (х, y²)), х Î Х. (34)

При этом стратегии х² и y² называются доминируемыми (строго доминируемыми).

Спектром смешанной стратегии игрока в конечной антагонистической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых согласно этой стратегии положительна.

Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной антагонистической игры.

Свойство 2. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в спектре его оптимальной стратегии.

Игра G¢ = (Х¢,Y¢,А¢) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х¢Ì Х, U¢Ì U, а матрица А¢ является подматрицей матрицы А. Матрица А¢ при этом строится следующим образом. В матрице А остаются строки и столбцы, соответствующие стратегиям Х¢ и U¢, а остальные “вычеркиваются”. Всё то что “останется” после этого в матрице А и будет матрицей А¢.

Свойство 3. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х \ х¢,Y,А) – подыгра игры G, а х¢– чистая стратегия игрока 1 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит х¢. Тогда всякое решение (х^о, y^о, u) игры G¢ является решением игры G.

Свойство 4. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х,Y\y¢,А) – подыгра игры G, а y¢ – чистая стратегия игрока 2 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит y¢. Тогда всякое решение игры G¢ является решением G.

Свойство 5. Если для чистой стратегии х¢ игрока 1 выполнены условия свойства 3, а для чистой стратегии y¢ игрока 2 выполнены условия свойства 4, то всякое решение игры G¢ = (Х \ х¢,Y\y¢,А) является решением игры G = (Х,Y,А).

Свойство 6. Тройка (х^о, y^о, u) является решением игры G = (Х,Y,А) тогда и только тогда, когда (х^о, y^о, кu +а) является решением игры G(Х, Y, кА+а), где а – любое вещественное число, к> 0.

Свойство 7. Для того, чтобы х^о = () была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры u, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств

(j = ) (35)

Аналогично для игрока 2 : чтобы y^о = (, ...,, ...,) была оптимальной смешанной стратегией игрока 2 необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

(i = ) (36)

Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, является ли предполагаемые (х, y) и u решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (35) и (36). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (35) и (36) совместно со следующими уравнениями

, (37)

получим решение матричной игры.

Таким образом, решение матричной игры сводится к нахождению неотрицательных параметров решений линейных неравенств (35) и (36) и линейных уравнений (36). Однако это требует большого объёма вычислений, которое растёт с увеличением числа чистых стратегий игроков. (Например для матрицы 33 имеем систему из 6 неравенств и 2 уравнений). Поэтому в первую очередь следует, по возможности используя свойства 2 и 3, уменьшить число чистых стратегий игроков. Затем следует во всех случаях проверить выполнение неравенства

(38)

Если оно выполняется, то игроки имеют чистые оптимальные стратегии (игрок 1 – чистую максиминная, а игрок 2 – чистую минимаксная). В противном случае хотя бы у одного игрока оптимальные стратегии будут смешанные. Для матричных игр небольшого размера эти решения можно найти, применяя свойства 1 – 5.

Замечание. Отметим, что исключение доминируемых (не строго) стратегий может привести к потере некоторых решений. Если же исключаются только строго доминируемые стратегии, то множество решений игры не изменится.

Пример 3. Пусть G = (Х,Y,А), где Х = {1, 2, 3, 4}; Y = {1, 2, 3, 4}, а функция выигрыша А задана следующим образом :

где С> 0.

Решение. Прежде всего заметим, что по свойству 6 достаточно решить игру G¹ = (Х,Y,А), где А¹ =А . В матричной форме игра G¹ определяется матрицей выигрышей

Элементы четвёртой строки этой матрицы “ £” соответствующих элементов третьей строки и поэтому третья стратегия игрока 1 доминирует над четвёртой. Кроме того, элементы первого столбца матрицы А¹ “ ³” соответствующих элементов второго столбца, Следовательно, вторая стратегия игрока 2 доминирует над его первой стратегией.

Далее, из свойства 5 следует, что всякое решение игры G² = (Х \{4},Y\ {1}, А¹) является решением игры G¹. В матричной форме игру G² можно представить матрицей

.

Очевидно, что элементы второй строки “ ³” полусуммы соответствующих элементов первой и третьей строк. Кроме того, элементы третьего столбца матрицы А² “ ³“ соответствующих элементов второго столбца. Применяя свойство 5 получим, что всякое решение игры G³ = (Х\{4,2}, Y\{1,4}, А²) является решением игры G², а следовательно и игры G¹. Игра G³ определяется матрицей

.

Матрица А³ не имеет седловой точки, т.к. не выполнено равенство

а игра G³ не имеет решения в чистых стратегиях, т.е. оптимальные стратегии игроков являются смешанными. Эти стратегии (в данном случае) легко найти из анализа структуры матрицы А³. Поскольку матрица А³ симметрична, можно предположить, что игроки в оптимальной стратегии используют свои чистые стратегии с равными вероятностями.

Действительно, если игрок 1 выбирает с равными вероятностями стратегии 1 и 3, то при применении любой из двух чистых стратегий игроком 2 математическое ожидание выигрыша игрока 1 будет равным либо

,

либо

.

Аналогично, если игрок 2 использует свои чистые стратегии 2 и 3 с равными вероятностями, то математическое ожидание его проигрыша будет равно . Следовательно, указанные стратегии являются оптимальными в игре G³, а величины – значением игры G³. Из предыдущего следует, что эти стратегии оптимальны и в G¹.

Таким образом, стратегия Х = (, 0,, 0) является оптимальной стратегией игрока 1, стратегия Y = (0,,, 0) – оптимальной стратегией игрока 2 в игре G¹, а значение игры G¹ равно . В силу свойства 4 решением игры G будет тройка (Х,Y,).