Тема 10. Нечеткий регулятор системы управления температурой электропечи.

Значительное место среди мероприятий по экономии энергоре­сурсов занимает автоматизация процесса потребления электроэнер­гии. Актуальной задачей является разработка автоматов и систем ав­томатического управления параметрами важных промышленных ус­тановок, одной из которых является электрическая печь большой мощности.

Передаточная функция линейной модели определена как

(9.1)

где Полученные в результате экспериментальных измерений значения постоянных времени и коэффициен­та усиления следующие: T₁=122 с, T₂=14,5с, τ = 3,9 с, К_о = 7,2 °С/ % (управляющее воздействие на объект управления задается в процентах перемещения регулирующего органа).

Структурная схема системы управления температурой электропе­чи, выполненная в интерактивной системе MATLAB, приведена на рис.9.1. Усилитель имеет насыщение с уровнем 5=18. Поэтому при больших управляющих воздействиях на объект управления система становится нелинейной.

Для объекта управления в системе автоматического управления электропечью предлагается использовать аналоговый ПИД-регулятор с передаточной функцией

(9-2) где оптимальными коэффициентами являются следующие:

К = 4,84%° С; К₁. =0,246%°С/с; K_d =43,32% с/⁰С

В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-регулятора (на рис.9.1 регулятор обозначен блоком РШ) может быть записана различными способами, поскольку интегрирование и диффе­ренцирование в цифровой форме может быть выполнено различными методами. Аппроксимируя производную первой разностью и исполь­зуя интегрирование на основе трапецеидальной аппроксимации запи­шем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора в виде

(9.3)

где h₀ - шаг дискретизации (шаг моделирования). Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на рис.9.2. При малых шагах моделирования цифровой ПИД-регулятор эквивалентен ангалоговому. Ниже представлены результаты исследования системы с цифро­вым ПИД-регулятором. При произвольном входном воздействии u{t),

которое изменяется с максимальной скоростью (Ο_παοί и максимальным ускорением г_тах, удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие u₃(t) = U₃sinCi}J, параметры которого определяются из соотношений [9]: В свою очередь,

если заданы параметры эквивалентного гармонического воздействия, то максимальная скорость и максимальное ускорение произвольного входного воздействия находятся из соотношений:

Исследование системы с цифровым ПИД-регулятором показыва­ет, что переходные процессы в системе имеют весьма большое пере­регулирование (до 50%) и большое время регулирования (до 100 с), но в установившемся режиме слежения за гармоническим сигналом те­кущая ошибка весьма мала. В качестве примера процессы в системе (см. рис.9.1) с цифровым ПИД-регулятором при поступлении на вход системы воздействия

(9.4)

где U₃ = 0,2; w₃ = π /180 = 1,74 · 10^-2 рад/с, изображены на рис.9.3.

Следует отметить, что гармонический сигнал (период сигнала ра­вен 360 с) является быстроменяющимся для данной системы (посто­янные времени в объекте управления 122с и 14,5с). При уменьшении частоты входного сигнала текущая ошибка в установившемся режиме слежения будет еще меньше, но перерегулирование и время регулиро­вания остаются такими же большими.

Проведем синтез оптимального по быстродействию цифрового регулятора для рассматриваемого объекта управления. Передаточную функцию такого регулятора можно получить на основании известных оптимальных управляющих воздействий, поступающих на объект

управления при линейно-изменяющимся воздействии на входе систе­мы. Для слежения за произвольным входным воздействием, кото­рое аппроксимируется линейно-изменяющимся, на выходе регулятора введем дополнительно интегрирующее звено (для придания системе астатизма первого порядка).

Тогда для объекта с передаточной функцией

(9.5)

управляющие воздействия на каждом интервале регулирования дли­тельностью t определяются в виде:

Цифровой регулятор на каждом подинтервале nt_p<t<nt_p+3h интервала регулирования можно описать передаточной функцией

(9.7) или разностным уравнением

(9.8)

где в = AU при индексе i-k>0 и 0 = О, m = О при i - к < 0.

В момент начала n-го интервала регулирования длительностью , т.е. в момент nt_p, первую разность (среднюю скорость) входного воздействия на систему управления u(t) на интервале регу­лирования

(9.9)

измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе­ние скорости входного воздействия

(9.10)

где h₀- шаг моделирования, и использовать приближенное значение первой разности

(9.11)

Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре­дыдущем интервале регулирования определяется как

(9.12)

Тогда приращение скорости на интервале регулирования определяется как

(9.13)

Для математических моделей объектов управления с чистым за­паздыванием (см. формулу (9.5)) можно предложить несколько вари­антов структурных схем оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов, которые зависят от соотношения времени запаздывания Т и шага квантования в цифровом регуляторе h. Рассмотрим вариант оптимального по быстродействию цифрового регулятора, для которо­го примем (Т в реальном объекте равно 3,9с).

Структурная схема такого регулятора, составленная на основании выражений (9.6) и (9.10)-(9.13) в интерактивной системе MATLAB, приведена на рис.9.4 (на рис.9.1 оптимальный по быстродействию цифровой регулятор обозначен блоком Subsystem).

На рис.9.3 (справа) показаны переходные процессы при наличии в системе оптимального по быстродействию цифрового регулятора. Данный регулятор обеспечивает апериодический (без перерегулиро­вания) переходный процесс со временем регулирования, не превы­шающим 30 с. Таким образом, быстродействие системы с данным ре­гулятором превышает быстродействие системы с ПИД-регулятором более чем в 3 раза. Кроме того, система с цифровым ПИД-регулятором имеет перерегулирование 50%.

Текущая ошибка в системе с оптимальным по быстродействий регулятором хотя и превышает ошибку рассогласования в системе с ПИД-регулятором, но достаточно мала.

При программной реализации регуляторов на микро-ЭВМ мень­шая структурная сложность цифрового ПИД-регулятора не является большим преимуществом. Поэтому для практического использованияможно рекомендовать оптимальный по быстродействию цифровой регулятор.

Структурная схема системы управления температурой электропе­чи с цифровым нечетким регулятором, выполненная в интерактивной системе MATLAB, приведена на рис.9.5 (структурная схема регулято­ра приведена на рисунке отдельно).

Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13) для треугольных функций принадлежности с шагом квантования (ша­гом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП в(к) в каждом канале управления, ее первая

и вторая разно-

сти подаются на вход регулятора. Сигнал с выхода регулятора посту­пает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией

и далее на вход объекта управления.

В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения входных и выходной переменных

всех функций принадлежности: где и - параметр (элемент) единого универсального множества U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки диапазоны

изменения переменных приняты симметричными: и т. д.

Настройка нечеткого регулятора производилась с целью получе­ния минимальной текущей ошибки рассогласования.

Диапазоны изменения входных и выходной переменных

после настройки

регулятора следующие: [-0,33, 0,33], [-0,07, 0,07],

[-0,035, 0,035], [-34,3, 34,3].

На рис.9.6 показаны переходные процессы при наличии в системе цифрового нечеткого регулятора при поступлении на вход системы суммы единичного ступенчатого и эквивалентного гармонического воздействий: u₃(t) = 1 + 0,2sin(nt/180). Данный регулятор обеспечи­вает близкий к апериодическому (с небольшими колебаниями) пере­ходный процесс с временем регулирования, не превышающим 30 с, и достаточно малую текущую ошибку.

Изложим простой способ идентификации параметров электро­печи как объекта управления [93].

Задача параметрической идентификации заключается в опреде­лении параметров математической модели объекта при заданной (из­вестной) структурной схеме объекта. Известно большое число мето­дов идентификации. Широкое применение при идентификации ли­нейных стационарных объектов находят различные частотные мето­ды, метод переходной функции, различные регрессионные методы (включая метод наименьших квадратов). Для идентификации объек­тов активными методами в качестве входных воздействий наиболее часто используются сигналы синусоидальной формы или ступенчатые воздействия.

Параметрическая идентификация, когда известна структура объекта управления (его передаточная функция) и требуется опреде­лить лишь величины параметров, называется идентификацией в узком смысле. Такая идентификация, при которой априорная информация об объекте управления достаточно обширна, в наибольшей степени соот­ветствует реальным условиям проектирования и поэтому широко ис­пользуется в инженерной практике.

Рассмотрим задачу определения неизвестных параметров объ­екта с передаточной функции (9.1). Для этого составим модель с такой же передаточной функцией

(9.14)

На вход объекта управления и на вход модели будем подавать сигналы u(t) синусоидальной формы или ступенчатые воздействия, а разность выходов (ошибку - θ(ί)) подадим на блок вычисления кри­терия качества. Выберем квадратичный критерий качества идентифи­кации, который получил наибольшее распространение, и будем мини­мизировать этот критерий путем изменения параметров модели. Ма­тематическую запись критерия представим в виде

(9.15)

где ошибка θ_ν вычисляется с шагом моделирования h₀, а число L

определяет интервал наблюдения.

Общая схема идентификации параметров объекта управления приведена на рис.9.7.

При заданном входном воздействии u(t) ошибка θ{t), а значит, и критерий качества идентификации зависят от параметров модели

(9.16)

Минимизация критерия качества представляет собой задачу оп­тимизации параметров модели. Оптимальные (наиболее близкие к не­известным параметрам объекта управления) параметры модели соот­ветствуют минимальному значению критерия качества.

Для минимизации критерия качества (9.15) можно использовать различные алгоритмы условной и безусловной оптимизации. Доста­точно хорошие результаты дает применение модифицированного ме­тода условной оптимизации Хука-Дживса.

Суть метода Хука-Дживса заключается в следующем. Вначале вычисляют функционал J = F(a,b,a,T) в базисной точке. Затем в каждую переменную по очереди изменяют путем прибавления или вычи­тания длины шага Н_к. Если такое изменение переменных приводит к уменьшению функционала, то для получения минимального функ­ционала находят новую базисную точку. Если такое изменение пере­менных не приводит к уменьшению функционала, то изменяют длину шага (обычно берут Н_к / 10), и, повторяя процедуру, получают новую базисную точку. Каждый раз, когда вновь полученная базисная точка отличается от предыдущей, проводят поиск по образцу (т. е. двигают­ся в направлении от предыдущей базисной точки к полученной). При этом каждую переменную изменяют по формуле Р_к = 2с_к - d_k, где Р_к -значение к-й переменной в точке образца; с_к - значение к-й перемен­ной в последней точке; d_k - значение k-й переменной в предыдущих базисных точках. Поиск завершается, когда длина шага уменьшится до заданного малого значения.

Чем меньше параметров объекта управления, требующих иден­тификации, тем точнее параметры модели определяют параметры объекта. Часто наиболее просто можно определить другими методами, например, коэффициент усиления и время задержки. Тогда более точно определяются постоянные времени объекта управления.

Моделирование апериодического звена с передаточной функци­ей

(9.17)

где Ь = 1/Т, выполняем по рекуррентной формуле (по методу трапе­ций) [1]

(9.18)

с шагом моделирования h₀. В формуле (9.18) U_n - входная, а х_п-выходная переменные звена.

Для моделирования звена чистого запаздывания поступим следующим образом. Вначале запишем передаточную функцию этого звена в виде приближения Паде второго порядка:

(9.19)

Запишем рекуррентную формулу (по методу трапеций) для моделирования колебательного звена с дифференцирующим второго порядка:

(9.20)

(8)

где а = 1/7"²; b = 2ξΙΤ\с = МТ*\d = 2ςΙΤ_Λ. Для этого звена рекуррент­ная формула (по методу трапеций) определена в виде[1]:

В записанных рекуррентных формулах U_n - входная, х_2п и х_3п - про­межуточные, a x_lrt - выходная переменные звена.

Очевидно, при а = с = 12/т и d =—b = -6/Τ формула (9.20) совпадает с формулой (9.19) и рекуррентные формулы приме­нима для расчета звена чистого запаздывания.

Проверка эффективности работы общей структуры, представ­ленной на рис.9.7, выполняем следующим образом. Задаем параметры объекта управления: K₀ =7,2, T₁ =122с, Т₂=14,5с, τ = 3,9с (эти

параметры приведены для реальной электропечи в работе [2]). Пола­гаем, что коэффициент усиления определен заранее и для моде­ли K_Q=K_Q. Задаем входное воздействие u(t). Задаем начальные зна­чения постоянных времени модели, отличающиеся от постоянных времени объекта на ± 50% .Запускаем программу оптимизации Хука-Дживса.

При моделировании для программы оптимизации Хука-

Дживса заданы: точность вычисления функционала E₁= 10^-12 ; ниж­ний предел шага изменения оптимизируемых параметров E₂⁼10^-4 ; входное воздействие u(t) = sin(2M/122); интервал на­блюдения 122с. При начальных значениях T₁₀ =103; T₂₀ = 25; г₀ =16 получаем следующие параметры объекта управления: Т₁ =121,9991; T₂ =14,5005; τ = 3,8996.

Заключаем, что изложенный способ параметрической иденти­фикации позволяет получать достаточно точные значения параметров объекта управления.

Представляет практический интерес рассмотреть переходные процессы в системе автоматического управления электропечью с рас­смотренными цифровыми регуляторами при условии неточного зада­ния параметров передаточной функции (9.1). Допустим, что регулято­ры настроены на указанные выше параметры а, а, Ь, Τ, а реальные параметры а и а значительно отличаются. Эта ситуация иллюстри­руется на рис.9.8. Неточное задание параметра а (т.е. наибольшей постоянной времени электропечи) мало влияет на форму переходного процесса в системе, использующей любой (из рассмотренных типов) регулятор. Однако неточное задание параметра а приводит и значи­тельной деформации переходного процесса, особенно в системе с оп­тимальным по быстродействию цифровым регулятором, в которой, кроме того, длительность переходного процесса значительно увеличивается.

Интересно отметить, что величина первой ступеньки в переход­ном процессе в системе с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором точно равна коэффициенту, на который умножается па­раметр а, что дает возможность определить этот параметр с высокой точностью при условии известных остальных параметров передаточ­ной функции объекта.