Тема 8. Статические характеристики цифровых нечетких регуляторов.

Характеристики " вход - выход" определяют главные свойства цифровых нечетких регуляторов, а именно способность нечетких регуляторов изменять динамические свойства системы автоматического управления. Эти характеристики можно получить на основании алгоритмов нечеткого вывода при заданных для используемых лингвистических переменных функциях принадлежности.

Рассмотрим простейший случай, когда на вход нечеткого регулятора поступает только ошибка системы и базу знаний организует нечеткое правило вида

Если

где u₁- входная лингвистическая переменная ошибка, пересчитанная на единое универсальное множество, a₁^j- лингвистические оценки (терм-множества, названия) входной переменной, например, a₁^j= {отрицателъная (j = 1),положителъная(j = 2)}. a^J_c - лингвистические оценки выходной переменной для алгоритма Мамдани или четкие индивидуальные выходы правил а^]_с = C_j на едином универсальном множестве для алгоритма Сугено. и_с - четкое значение выходной переменной управляющее воздействие на объект управления на едином универсальном множестве.

Зададим треугольные функции принадлежностидля входной лингвистической переменной ошибка (см. рис.2.15) и рассмотрим три варианта:

а) Ошибка оценивается двумя терм-множествами (j = 1,2), например,

{ отрицателъная(j=1),положителъная(j=2)}, функции принадлежности для которых

б) Ошибка оценивается тремя терм-множествами (у =1,3)

{отрицательная (1), положительная (2), нулевая (3)}, функции принадлежности для которых

в) Ошибка оценивается семью терм-множествами (j = l,7), {отрицательная (О), отрицательная средняя (ОС),отрицательная малая {ОМ), нулевая (H), положительная малая (ПМ), положительная средняя(ПС),положительная(П)

функции принадлежности для которых

Для определения четкого значения выходной лингвистической переменной управляющее воздействие на объект управления на еди­ном универсальном множестве используем:

1. алгоритм "минимаксного" нечеткого вывода Мамдани, реали­зуемый по формулам (1.6)-(1.8), при условии, что выходная перемен­ная описывается теми же функциями принадлежности, что и входная переменная, а приведение к четкости осуществляется центроидным методом по формуле (1.3);

2. алгоритм нечеткого вывода Сугено 0-порядка, реализуемый по формулам (1.18) (1.20), при условии, что четкие индивидуальные вы­ходы правил равны: с₁ = 0 и с₂ = 1.

На рис.2.16 представлены статические характеристики "один вход - один выход" цифровых нечетких регуляторов для рассмотренных трех вариантов (слева - расчет по алгоритму Мамдани, справа - по алгоритму Сугено).

Если для нечетких регуляторов, рассчитанных по алгоритму Мам-дани, увеличение числа функций принадлежности линеаризует статические характеристики, то для нечетких регуляторов, рассчитан­ных по алгоритму Сугено, увеличение числа функций принадлежно-"* сти приводит к увеличению нелинейности статических характеристик.

Поскольку нечеткий регулятор со статической харажтеристакой "один вход - один выход" представляет собой в общем случае нели­нейность, то его использование в системе автоматического управле­ния нецелесообразно.

Положим теперь, что на вход нечеткого регулятора поступает ошибка и производная от ошибки системы и базу знаний организуют два нечетких правила (по числу термов) вида

Если

где u₁- входная лингвистическая переменная ошибка и и₂ - входная лингвистическая переменная производная от ошибки, пересчитанные на единое универсальное множество, - - лингвистические оценки (терм-множества, названия) входных переменных, например, {отрицательная(j=1),положительная(j = 2)}.

а^]_с - лингвистические оценки выходной переменной для алгорит­ма Мамдани или четкие индивидуальные выходы правил а_c^j =c_j на едином универсальном множестве для алгоритма Сугено. и*_с - четкое значение выходной переменной на едином универсальном множестве.

Зависимости выходной переменной от входных в этом случае имеют вид поверхности отклика (Surface). Вид этих поверхностей за­висит от алгоритма нечеткого вывода (Mamdani или Sygeno), от опе­раций логического вывода и от вида и параметров функций йринад-лежности {membership functions).

В качестве примеров приведены поверхности отклика для треугольных (trimf)

экспоненциальных (expmf)

и колоколообразных (gbellmf)

функций принадлежности для алгоритмов не­четкого вывода, операций логического вывода и параметров функций принадлежности.

Приведенные на рисунках поверхности отклика определены при помощи пакета прикладных программ нечеткой логики (Fuzzy Logic Toolbox) в интерактивной системе MATLAB.

В процедуре агрегирования как в алгоритме нечеткого вывода Мамдани, так и алгоритме нечеткого вывода Сугено использовались две операции: или операция логической конъюнкции (And method,min-операция), определяемая формулами (1.6), (1-17), или алгебраич­ское произведение (prod-операция), определяемое формулами (1.9) и (1.20). Приведение к четкости осуществлялось центроидным методом в алгоритме Мамдани и методом взвешенного среднего в алгоритме Сугено.