Такого рода нечеткие регуляторы содержат нечеткие множества, логические операции объединения, пересечения и композиции с лингвистическими значениями переменных, нечеткое отношение, образованное одной или несколькими логическими операциями, и правило вывода нечеткого выхода при известном входе. Первые логико-лингвистические регуляторы (ЛЛР) оказали очень сильное влияние на последующие исследования в области нечетких систем управления и заслуживают того, чтобы вначале изложить основные принципы их построения, а затем показать, как эти принципы реализованы в одном из регуляторов.
Принципы построения ЛЛР рассмотрим на примере простейшего обобщенного регулятора с одним входом х (обычно ошибка регулирования) и одним выходом у (регулирующее или управляющее воздействие), связанных нечеткими правилами
R1: если х есть Х1, то у есть Y1, иначе
R2: если х есть Х2, то у есть Y2, иначе (1)
. . .
Rn: если х есть Хn, то у есть Yn,
содержащими нечеткие множества ХqÎТх и YqÎТy.
В алгоритме функционирования ЛЛР в той или иной форме присутствуют процедуры преобразований (фазификации Fuz) измеренного значения х0 переменной х в лингвистическое значение X¢, нечеткого вывода (fuzzy inference FI) лингвистического выхода Y¢ по известному входу Х¢ и совокупности правил R = {R1,…, Rn} и преобразования (дефазификации Def) лингвистического значения выхода Y ¢ в действительное у0 (рис. 1).
“Входной измеримой переменной х со значением х0 соответствует так называемое “вырожденное” нечеткое множество Х¢ с функцией принадлежности
где х0 – точка, именуемая синглетоном множества Х ¢. Запишем выражение нечеткого вывода для ЛЛР, заданного множеством правил (1)
R1: если х есть Х1, то у есть Y1, иначе
R2: если х есть Х2, то у есть Y2, иначе (2)
…
Rn: если х есть Хn, то у есть Yn,
х есть Х¢
__________________________
y есть Y¢
Значения истинности высказываний “х есть Хq”, “у есть Yq” и “х есть Х¢” в правилах (1) и посылке выражения вывода (2) определяются значениями соответствующих функций принадлежности Хq(х), Yq(y) и Х¢(x) для х Î Х, уÎY.
Каждое правило Rq – это нечеткая импликация
Rq = если х есть Хq, то y есть Yq = Хq ® Yq.
В ЛЛР в качестве процедуры вывода Y¢ используется максиминная композиция Заде
, (3)
где .
В точке х0 выражение (3) после подстановки Х ¢(х0) = 1 принимает вид
. (4)
Значение выхода у0 можно определить путем максимизации
(5)
или вычисления “центра тяжести” функции принадлежности Y ¢(у)
. (6)
Наиболее известный и часто цитируемый ЛЛР, разработанный для управления паровой машиной, имеет четыре входных (х1– ошибка давления, равная отклонению текущего значения от заданного значения; х2– ошибка скорости; х3 – скорость изменения х1; х4 – скорость изменения х2) и две выходных (у1 – изменение тепла; у2 – изменение давления пара) переменных. Диапазоны изменения входныхХ1,…, Х4 и выходнойY1 переменных х1,…, х4, у1 разбиваются на семь интервалов со следующими лингвистическими значениями: РВ – положительное большое; РМ – положительное среднее; PS – положительное малое; ZE – нулевое; NS – отрицательное малое; NM – отрицательное среднее; NB – отрицательное большое. Диапазон изменения Y2 выходной переменной у2 состоит из пяти интервалов с определенными на них лингвистическими значениями NB, NS, ZE, PS, PB. Указанные лингвистические значения образуют два терм-множества Т1 = {NB, NM, NS, ZE, PS, PM, PB} и Т2 = {NB, NS, ZE, PS, PB}. Нечеткий регулятор состоит из двух совокупностей правил, j = 1, 2, определяющих изменение тепла у1 и давления у2
: если х1 есть и х2 есть и … и х4 есть , то уj есть , иначе
: если х1 есть и х2 есть и … и х4 есть , то уj есть , иначе
…
: если х1 есть и х2 есть и … и х4 есть , то уj есть ,
х1 есть и х2 есть и … и х4 есть ,
_____________________________________
уj есть .
Высказывания “хi есть ” и “хi есть ” в посылке выражения вывода (5) со значениями истинности, заданными соответствующими функциями принадлежности (х) и (xj), j = 1, 2, , объединены логической связкой “и”, реализующей операцию пересечения. Тогда истинность левой части qj-го правила определяется как
,
а истинность посылки –
, j = 1, 2.
Выражение максиминной композиции (3) примет вид
, (7)
где .
Поскольку являются синглетонами множеств , то после подстановки , в выражение (7) получим импликацию Мамдани
. (8)
Действительные выходные значения и определяются на основании найденных функций принадлежности и с помощью соотношений (5) и (6).
Рассмотренный ранее ЛЛР с импликацией (8) называется регулятором Мамдани. Если в выражении (4) принять R(x, y) = 1, то регулятор Мамдани будет иметь статическую характеристику многопозиционного реле (рис. 2, а), в котором нарушаются линейность и непрерывность выхода у относительно входа х.
Попытки устранить указанные недостатки заключались в использовании импликации Лукасевича в качестве нечеткого отношения R(x, y) в выражении (3):
. (9)
Действительно, если принять RL(x, y) = 1, то импликация (9) в выражении (4) с одним входом
позволяет получить более совершенный ЛЛР, имеющий статическую характеристику линейной функции с насыщением (рис. 2, б).
Однако гораздо большее применение нашли регуляторы и нечеткие системы управления, использующие импликацию Заде. Им посвящено большое количество исследований, в которых регуляторы и системы управления представлены нечеткими дифференциальными
(10)
и разностными уравнениями
. (11)
Для анализа устойчивости и управляемости нечетких динамических систем типа (10) и (11) привлекались функции Ляпунова и методы оценки устойчивости, опирающиеся на такие специфические понятия нечетких множеств, как энергия нечеткого множества Xt и нечеткого отношения R, пиковые характеристики нечетких множеств и меры их близости.
Основной недостаток предлагаемых подходов заключается в отсутствии конкретных рекомендаций по выбору или синтезу нечетких регуляторов и систем управления, обладающих определенными динамическими свойствами (управляемости, устойчивости и качества процессов регулирования).
Первая попытка синтеза оптимального в смысле минимума ошибки регулирования ЛЛР была предпринята в замкнутой системе управления (рис. 3) на основании заданных таблицами 1 и 2 нечетких операторов FOU и F* объекта и оптимальной замкнутой системы, соответственно.
, (3)
.
. (4)
(5)
. (6)
: если х1 есть 
и х2 есть 
и … и х4 есть 
, то уj есть 
, иначе
: если х1 есть 
и х2 есть 
и … и х4 есть 
, то уj есть 
, иначе
: если х1 есть 
и х2 есть 
и … и х4 есть 
, то уj есть 
,
и х2 есть 
и … и х4 есть 
,
.
” и “хi есть 
” в посылке выражения вывода (5) со значениями истинности, заданными соответствующими функциями принадлежности 
(х) и 
j = 1, 2, 
, объединены логической связкой “и”, реализующей операцию пересечения. Тогда истинность левой части qj -го правила определяется как
,
, j = 1, 2.
, (7)
.
являются синглетонами множеств 
, то после подстановки 
, в выражение (7) получим импликацию Мамдани
. (8)
и 
определяются на основании найденных функций принадлежности 
и 
с помощью соотношений (5) и (6).
. (9)
(10)
. (11)
Для анализа устойчивости и управляемости нечетких динамических систем типа (10) и (11) привлекались функции Ляпунова и методы оценки устойчивости, опирающиеся на такие специфические понятия нечетких множеств, как энергия нечеткого множества Xt и нечеткого отношения R, пиковые характеристики нечетких множеств и меры их близости.