Основные определения устойчивости по Ляпунову решений динамических систем (систем обыкновенных дифференциальных уравнений)

А. М. Ляпунов (1857-1918) - знаменитый русский математик и механик, основатель методов функций Ляпунова – основного математического метода исследования устойчивости решений нелинейных и нестационарных, в общем случае, систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана конечномерная гладкая динамическая система с непрерывным временем, т.е. система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.7) вида:

(1.2.1)

с областью определения (1.1.8) вида

(1.2.2)

и вектор-функция удовлетворяет условиям (1.1.9) единственности области .

Пусть также дано некоторое известное фиксированное решение системы (1.2.1) вида

(1.2.3)

из области единственности, т.е. с начальными данными вида (1.2.2).

Отметим, что во втором методе Ляпунова исследуются только отдельные фиксированные решения (1.2.3) нелинейных нестационарных систем (1.2.1) в области единственности (1.2.2).

Определение 1 (устойчивости по Ляпунову). Решение системы (1.2.1) называется устойчивым по Ляпуновупри (или, короче, устойчивым), если для любого наперед заданного положительного числа и любого начального момента времени существует (найдется) положительное число выбор которого, в общем случае, зависит от выбора , такое, что все решения системы (1.2.1), удовлетворяющие (строгому) неравенству

(1.2.4)

обладают следующими свойствами:

a) они бесконечно продолжимы вправо, включая и фиксированное решение ; т.е. все они определены на

б) для этих решений справедливо (строгое) неравенство

(1.2.5)

при всех t из полубесконечного интервала времени .■

Замечание. Отметим некоторые характерные черты устойчивого по Ляпунову решения, вытекающие из данного определения.

1. Неравенства (1.2.4), (1.2.5) означают, что все решения x(t), которые начинаются, согласно неравенству (1.2.4), внутри некоторой окрестности открытого шара радиуса , т.е. «достаточно близкие» к решению в любой начальный момент времени , целиком погружаются, согласно неравенству (1.2.5), в сколь угодно узкую -трубку, построенную вокруг решения (см. рисунок 1).

Рисунок 1.

2. Из неравенств (1.2.4), (1.2.5) по смыслу вытекает, что всегда можно выбрать (без потери общности).

3. Пусть фиксированное решение системы (1.2.1) ограничено по норме, т.е. для всех найдется число такое, что

Утверждение.Из устойчивости по Ляпунову при фиксированного (ненулевого) решения системы (1.2.1) не следует его ограниченность.

Верно и обратное: из ограниченности решения системы (1.2.1), вообще говоря, не следует его устойчивость по Ляпунову при .■

4. Для сокращения записи здесь и далее полезно использовать кванторы общности и существования , и тогда определение 1 можно записать так: