Линейное преобразование называется ортогональным (унитарным) если оно сохраняет скалярное произведение, то есть 
. Из определения выводим 
или 
. Таким образом ортогональное преобразование является нормальным.
Свойство 8.6. Собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1.
Доказательство. Пусть 
, тогда 
, и, значит, 
.
Следствие 8.1. Ортогональное преобразование евклидова пространства, в некотором ортонормированном базисе, сводится к выполнению последовательности тождественных преобразований, симметрий и поворотов в координатных плоскостях.
Доказательство. Ортогональное преобразование нормально, следовательно, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Блоки первого порядка соответствуют вещественным собственным числам, а блоки второго порядка – комплексным числам. Так как собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1, то по главной диагонали могут стоять либо 1, либо -1, либо блок второго порядка 
. Для доказательства осталось заметить, что геометрический смысл указанных преобразований как раз и есть тождественные преобразования, симметрии и повороты в координатных плоскостях.
