Теорема 5.5. Любая кривая второго порядка аффинно эквивалентна одной из 9 кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые аффинно не эквивалентны между собой.
Название кривой
Каноническое уравнение кривой
Расширенная матрица
rgA
S(A)
Эллипс
diag(1,1,-1)
Мнимый эллипс
diag(1, 1, 1)
Гипербола
diag(–1, 1, –1)
Пара пересекающихся мнимых прямых
diag(0, 1, 1)
Пара пересекающихся прямых
,
diag(0, 1, –1)
Парабола
Пара параллельных прямых
diag(–1, 1, 0)
Пара параллельных мнимых прямых
diag(1, 1, 0)
Пара совпавших параллельных прямых
diag(0, 1, 0)
Доказательство. Любую кривую 2-го порядка в соответствующих аффинных координатах можно описать одним из перечисленных канонических уравнений. Действительно, и rgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: или . Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матриц A.
, 
и rgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: 
или 
. Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матриц A.