Интервальное оценивание.

Заменяя неизвестный параметр θ его оценкой Х, мы допускаем некоторую ошибку ∆, т.е. .

∆ - называется предельной ошибкой выборки, т.е. предельная ошибка выборки – max отклонение по модулю оценки от оцениваемого параметра, которое мы можем гарантировать с определенной надежностью.

Определение: Надежностью или доверительной вероятностью называется вероятность того, что оценка отличается от оцениваемого параметра не более, чем на ∆.

(17) -доверительная вероятность (надежность).

Р – доверительная вероятность (надежность);

х – оценка, случайная величина;

θ – неизвестный параметр, число;

∆ – предельная ошибка выборки;

Доверительная вероятность при оценивании среднего значения.

Пусть требуется оценить неизвестное генеральное среднее, т.е. параметр . В соответствие с теоремой 3 его оценкой является выборочная средняя. По теореме 3 она имеет нормальный закон распределения, параметры которого известны из теоремы 1 (формулы 9 и 10).

Рассмотрим формулу *:

Применим формулу * к выборочной средней. Получаем:

(18) - доверительная вероятность для оценки выборочной средней, где:

Р – доверительная вероятность (надежность);

- выборочное среднее, случайная величина, оценка, имеет нормальный закон распределения;

- генеральное среднее, неизвестный параметр;

∆ - предельная ошибка выборки;

- средняя квадратическая ошибка для выборочной средней (среднее квадратическое отклонение для выборочной средней) (см. табл. 3).

Доверительная вероятность при оценивании генеральной доли (вероятности).

Пусть требуется оценить неизвестный генеральный параметр. Р – генеральная доля (вероятность), т.е. в формуле 17 неизвестным параметром является θ. В качестве оценки Х берем выборочную долю w (в соответствие с теоремой 4). Т.к. по теореме 2 выборочная доля w имеет нормальный закон распределения с параметрами 11, 12, то применим формулу * к случайной величине w:

(19) - доверительная вероятность для оценки доли, где:

Р – доверительная вероятность;

w – выборочная доля, случайная величина, имеет нормальный закон распределения, оценка;

р – генеральная доля или вероятность признака, неизвестный параметр;

∆ - предельная ошибка;

- средняя квадратическая ошибка для доли (см. табл. 3, 2-я строчка), среднее квадратическое отклонение для выборочной доли.

Для решения задач:

1. для доли или для средней;

2. определение доверительной вероятности;

3. определение (оценка) предельной ошибки ∆ и доверительного интервала (х-∆; х+∆);

4. определение необходимого объема выборки n – повторная, n' – бесповторная;

Пример:

С целью изучения средней производительности ткачей по схеме случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачей из 2000. результаты занесены в таблицу.

1) Определить вероятность того, что средняя производительность ткача на всем комбинате отличается от средней производительности в выборке не более чем на 2 метра (по модулю).

Дано:

бесповторная выборка

производительность в метрах α - β	кол-во ткачей ni	xi	xi *ni
55-65				1438,83
65-75				2832,2
75-85				144,4
85-95				1902,69
95-105				2620,88
m = 5	n = 100

Формула доверительной вероятности для средней:

- средняя производительность ткача

2) В условиях предыдущей задачи определить какова максимальная ошибка Δ и каков доверительный интервал для средней производительности ткача, который можно гарантировать с вероятностью Р = 0,95.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

(80,9; 93,71)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что интервал (80,9; 93,71) генеральную среднюю – среднюю производительность ткачей на всем комбинате.

3) Какой должен быть объем повторной и бесповторной выборок, чтобы в условиях данной задачи с доверительной вероятностью Р равной 0,95 можно было гарантировать ошибку Δ = 1,81 для средней производительности ткачей.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

а) пусть выборка повторная:

Объем повторной выборки при оценке среднего значения:

(20)

б) бесповторная выборка:

Объем бесповторной выборки при оценке среднего значения:

(21)

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,95 гарантировать наибольшее отклонение Δ = 1,81 для средней производительности ткачей.

4) В условиях исходной задачи определить вероятность того, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

Дано:

- выборочная доля

Ответ: с вероятность 0,778 можно утверждать, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

5) В условиях задачи найти Δ и доверительный интервал для доли ткачей на всем комбинате, чья производительность не более 75 метров, который можно гарантировать с вероятностью Р=0,778

Дано:

Используя формулу 19 и данные, полученные в предыдущей задаче:

(0,18; 0,28)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с вероятностью 0,778 можно утверждать , что доверительный интервал (0,18; 0,28) содержит генеральную долю ткачей, чья производительность не более 75 метров.

6) В условиях первоначальной задачи определить, сколько надо обследовать ткачей в случае повторной и бесповторной выборки, чтобы с вероятностью Р = 0,778 можно было гарантировать наибольшее отклонение Δ равное 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров. Ответ дать для случая:

а) когда есть предварительная выборка;

б) когда никаких предварительных данных нет;

Дано:

а) предварительная выборка:

1) повторная выборка:

Объем повторной выборки при оценке доли:

(22)

2) бесповторная выборка:

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,778 гарантировать Δ = 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров.

б) никаких предварительных данных нет (т.е. нет исходной таблицы)

Тогда рассмотрим формулу 22 как функцию переменной W:

и ищем при каких W достигается max этой функции. Можно доказать, что max достигается при w = 0,5. Тогда →

Объем выборки при оценке доли, если никаких предварительных данных нет:

(23)