Анализ работы КПУ

2.2.1. Принцип работы трехуровневой схемы

Необходимым условием для квантового усиления является создание инверсии населенностей на двух используемых уровнях рабочего вещества. В КПУ инверсия населенностей достигается за счет воздействия на парамагнитный кристалл вспомогательного излучения СВЧ, так называемой «накачки». Работа КПУ обычно осуществляется по трехуровневой схеме, в которой используются переходы парамагнитных ионов между тремя магнитными подуровнями.

Рассмотрим работу трехуровневой схемы усиления. При отсутствии накачки парамагнитное вещество находится в состоянии термодинамического равновесия и населенности энергетических уровней распределены по закону Больцмана (рис. 2.2,а).

а) W б) W

W₃ W₃

W₂ W₂

W₁ W₁

n₃⁰ n₂⁰ n₁⁰ n n₂ n

Рис. 2.2. Трехуровневая система усиления

Для создания инверсии населенностей кристалл облучают сравнительно мощным сигналом накачки, частота которого равна частоте перехода . Сигнал накачки индуцирует переходы парамагнитных ионов между уровнями 1 и 3. Так как вероятности вынужденных переходов вверх и вниз одинаковы, а населенность уровня 1 больше, чем на уровне 3, то количество переходов вверх в единицу времени будет больше, чем вниз. Населенность уровня 3 начнет увеличиваться, а уровня 1 – уменьшаться. Процессу выравнивания населенностей n₁ и n₃ препятствуют релаксационные переходы, стремящиеся возвратить систему в состояние равновесия. Однако при достаточной мощности накачки населенности уровней 1 и 3 (n₁ и n₃) становятся почти равными (рис. 2.2,б). Следует заметить, что при любой мощности накачки населенность n₃ не может стать больше n₁, так как уже при число вынужденных переходов вверх и вниз одинаково. Выравнивание населенностей двух энергетических уровней называют «насыщением» соответствующего перехода.

В трехуровневой схеме насыщение перехода 1 ® 3 приводит к инверсии населенностей уровней 3 ® 2 или 2 ® 1. Ниже будут рассмотрены условия, определяющие, для какой именно пары уровней достигается инверсия населенностей. В простейшем случае, когда населенность уровня 2 не изменяется ( ) и инвертированными оказываются населенности тех двух уровней, которые расположены ближе друг к другу. Из рис. 2.2,б видно, что при инвертированными оказываются населенности уровней 3 и 2 .

Таким образом, в результате воздействия накачки для одного из переходов трехуровневой системы выполняется условие квантового усиления и если в систему поступит сигнал с частотой, соответствующей частоте этого перехода (в рассмотренном случае с частотой f₃₂), то он будет усилен. Усиление происходит за счет энергии, потребляемой от генератора накачки, часть этой энергии передается усиливаемому сигналу, часть преобразуется в тепло при релаксационных переходах.

2.2.2. Расчет инверсной разности населенностей

Рассмотрим трехуровневую квантовую систему (рис. 2.3), на которую одновременно воздействуют накачка на частоте f₁₃ и усиливаемый сигнал на частоте f₃₂ . Определим условия создания инверсии населенностей уровней 3 ® 2 и вычислим инверсную разность населенностей в стационарном режиме, полагая, что полное число микрочастиц в системе остается постоянным, т.е. N =const.

Возможные направления вынужденных переходов и релаксационных переходов, обусловленных спин-решеточными взаимодействиями, показаны на рис. 2.3 стрелками. Через p_ij, как и ранее, обозначены вероятности вынужденных переходов в 1 секунду, а через w_ij – вероятности релаксационных переходов в 1 секунду. Кросс-релаксация при этом не учитывается.

В стационарном режиме населенности уровней остаются неизменными и, следовательно, на каждый уровень поступает и уходит с него одинаковое число частиц в 1 секунду. Поэтому можно записать

(2.4)

(2.5)

(2.6)

W₃ n₃

w₃₂ w₂₃ p₃₂=p₂₃

W₂ n₂

w₃₁ w₁₃ w₂₁ w₁₂ p₃₁=p₁₃

W₁ n₁

Рис. 2.3. Трехуровневая квантовая система, на которую одновременно воздействуют накачка на частоте f₁₃ и усиливаемый сигнал на частоте f₃₂

Первые три слагаемых в уравнении (2.4) учитывают релаксационные переходы, последнее слагаемое – вынужденные. Аналогичный смысл имеет уравнение (2.5) для уровня 2. Уравнение (2.6) выражает закон сохранения числа частиц в рассматриваемой системе.

Однако общее решение получается довольно громоздким. Чтобы его упростить, учтем, что мощность накачки обычно достаточно велика и переход 1 ® 3 насыщен. Тогда n₁ @ n₃ и уравнение (2.5) принимает следующий вид:

(2.7)

Решая (2.7) совместно с (2.6) при условии n₁ = n₃, легко найти стационарные значения n₁, n₂, n₃, а затем и инверсную разность населенностей

(2.8)

В диапазоне СВЧ почти всегда выполняется условие hf << kT, поэтому соотношение (1.13) между вероятностями релаксационных переходов можно записать так

Подставляя эти соотношения в (2.8) и пренебрегая в знаменателе величинами по сравнению с единицей, находим окончательное выражение для инверсной разности населенностей

(2.9)

Анализируя полученную формулу, можно отметить следующее. Инверсия населенностей достигается при выполнении условия . Если , то инвертированными оказываются населенности уровней 2 и 1. Для увеличения необходимо усиливать неравенство , которое с учетом можно переписать в виде . Смысл этого требования состоит в следующем.

Уменьшение отношения вероятностей релаксационных переходов приводит к более эффективному обеднению нижнего уровня сигнального перехода 3 ® 2 за счет релаксационных процессов и к росту . Увеличение отношения частот накачки и сигнала соответствует увеличению отношения равновесных разностей населенностей , что приводит к возрастанию при насыщении вспомогательного перехода 1 ® 3. Напротив, увеличение температуры кристалла способствует выравниванию равновесных населенностей уровней (см. рис. 1.1) и, следовательно, уменьшает .

2.2.3. Мощность, излучаемая активным веществом

Согласно (1.19), (1.6) и (2.9) мощность, излучаемая элементарным объемом dV активного вещества, равна

(2.10)

Полная излучаемая мощность определяется интегрированием (2.10) по объему парамагнитного кристалла.

При малых уровнях сигнала р₃₂<< w₃₂+w₁₂и в знаменателе (2.10) величиной р₃₂ можно пренебречь. В этом случае Dn₃₂=const и излучаемая мощность пропорциональна плотности электромагнитной энергии в кристалле, так как p₃₂ = B₃₂r₃₂. При увеличении уровня сигнала линейная зависимость между излучаемой мощностью и энергией поля в кристалле нарушается, так как перестает выполняться условие р₃₂ << w₃₂+w₁₂ и начинает уменьшаться инверсная разность населенностей Dn₃₂, т.е. наступает насыщение сигнального перехода. Условие ненасыщенного режима работы имеет вид р₃₂ << w₃₂+w₁₂. Отсюда следует, что увеличение скорости релаксационных процессов способствует увеличению максимально допустимого уровня усиливаемого сигнала. Однако при этом необходимо увеличивать мощность накачки, чтобы не нарушались условия p₁₃ >> w_ij, p₁₃ >> p₃₂, обязательные для насыщения вспомогательного перехода 1 ® 3.

(2.11)

Оценим величину максимальной излучаемой мощности для практической конструкции КПУ со следующими данными: активное вещество - рубин; f₃₂ = 2800 МГц; f₂₁ = 6600 МГц;w₂₁ @ w₃₂ @ 2,5 ; V = 1 см³; Т = 1,25^°К. Подстановка этих величин в (2.11) дает Р_{изл макс} @ 8,7 мкВт. Экспериментально в таком усилителе было получено Р_{изл макс} @ 4 мкВт. По порядку величины приведенные значения Р_{изл макс} типичны для КПУ.