Переходы микрочастиц между энергетическими уровнями

Микрочастицы могут переходить с одних энергетических уровней на другие самопроизвольно (без воздействия каких-либо внешних факторов), под влиянием внешнего электромагнитного поля и в результате взаимодействия со своим окружением (другими микрочастицами, кристаллической решеткой и т.д.). Соответственно различают три вида переходов: спонтанные, вынужденные и безызлучательные релаксационные. Рассмотрим их основные особенности.

1.2.1. Спонтанные переходы

Спонтанно, т.е. самопроизвольно, микрочастицы могут переходить только с более высоких энергетических уровней на низшие. При спонтанном переходе микрочастицы с уровня W_j на уровень W_i происходит излучение кванта электромагнитной энергии DW_ji = W_j – W_i. Частота излучения определяется известным условием частот Бора (3-й постулат Бора)

(1.3)

где h = 6.62×10^-34 Дж×с – постоянная Планка.

Кванты поля, испускаемые при спонтанных переходах, имеют случайные поляризацию и направление распространения. Поэтому спонтанное излучение проявляется как шумы. Число спонтанных переходов с уровня W_j на уровень W_i за время dt пропорционально населенности верхнего уровня n_j и интервалу времени dt

(1.4)

Коэффициент пропорциональности A_ji называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Он имеет смысл вероятности спонтанного перехода W_j ® W_i в 1 секунду в расчете на 1 микрочастицу. Значение этого коэффициента определяется внутренними свойствами микрочастиц. Его размерность – 1/с. Согласно (1.4) коэффициент Эйнштейна A_ji равен отношению числа микрочастиц, совершающих спонтанный переход W_j ® W_i за 1 секунду, к населенности верхнего уровня W_j.

1.2.2. Вынужденные (индуцированные) переходы

Под воздействием внешнего электромагнитного поля микрочастицы могут совершать вынужденные переходы в двух направлениях: на верхние и на нижние энергетические уровни. Если микрочастица совершает переход вверх с уровня W_j на уровень W_j, то ее энергия увеличивается на DW_ji = W_j – W_i. Энергия электромагнитного поля, индуцирующего этот переход, уменьшается на такую же величину, т.е. происходит поглощение фотона DW_ji =hf_ji. Необходимым условием возникновения вынужденных переходов между уровнями W_j и W_i является совпадение частоты электромагнитного поля с частотой перехода f_ji = (W_j – W_i )/h.

При переходе микрочастицы вниз с уровня W_j на уровень W_i имеет место процесс, обратный поглощению: происходит испускание микрочастицей фотона hf_ji, и энергия поля, индуцирующего переход, увеличивается.

Вынужденное излучение, т.е. излучение, созданное в результате вынужденных переходов, обладает следующим важным свойством. Оно имеет не только одинаковую частоту, но также одинаковую фазу, поляризацию и направление распространения с первичным полем, индуцирующим переходы. Другими словами, кванты электромагнитного поля, испускаемые частицами при вынужденных переходах, не отличимы от квантов индуцирующего поля. Это свойство вынужденных переходов позволяет использовать их для усиления электромагнитных колебаний.

Число вынужденных переходов с уровня W_j на уровень W_i за время dt определяется произведением вероятности соответствующего перехода в 1 секунду в расчете на 1 микрочастицу – p_ji на населенность верхнего уровня n_j и интервал времени dt

(1.5)

Вероятность вынужденного перехода p_ji в отличие от вероятности спонтанного перехода A_ji пропорциональна спектральной плотности энергии электромагнитного поля r_ji на частоте перехода

(1.6)

где B_ji – постоянный коэффициент, зависящий от свойств перехода W_j ® W_i и называемый коэффициентом Эйнштейна для вынужденного испускания.

Аналогичные выражения можно записать для вынужденных переходов с поглощением фотонов. Число вынужденных переходов с уровня W_i на уровень W_j за время dt равно

(1.7)

где p_ij – вероятность вынужденного перехода с уровня W_i на уровень W_j в 1 секунду в расчете на 1 микрочастицу; B_ij – коэффициент Эйнштейна для поглощения; n_i – населенность нижнего уровня W_i.

1.2.3. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна

Коэффициенты Эйнштейна A_ji, B_ji, B_ij не являются независимыми друг от друга. Они связаны определенными соотношениями. Чтобы найти эти соотношения, рассмотрим изолированный ансамбль микрочастиц, находящийся в состоянии теплового равновесия с полем излучения, созданным самими микрочастицами. При равновесии населенности энергетических уровней в среднем остаются неизменными и общее число переходов вверх и вниз одинаково. Поэтому можно записать

(1.8)

где r_ji – спектральная плотность энергии поля, создаваемого самими микрочастицами.

Учитывая, что населенности уровней , связаны между собой соотношением (1.2), и определяя из (1.8) спектральную плотность энергии излучения, находим

(1.9)

Это выражение должно совпадать с известной формулой Планка для объемной плотности энергии равновесного теплового излучения в единичном интервале частот

(1.10)

где c – скорость света.

Соотношения между коэффициентами Эйнштейна можно получить, сравнивая (1.9) и (1.10). Из (1.10) следует, что при и . Формула (1.9) дает такой же результат только в том случае, если

(1.11)

Таким образом, коэффициенты Эйнштейна для поглощения и для вынужденного излучения равны между собой.

Сравнивая выражения (1.9) и (1.10) и учитывая при этом (1.11), находим соотношение между коэффициентами Эйнштейна для спонтанного и вынужденного излучений

(1.12)

Отношение вероятностей спонтанного и вынужденного испускания фотона прямо пропорционально кубу частоты и обратно пропорционально плотности энергии поля r_ji. Для переходов, частота которых находится в диапазоне СВЧ, отношение оказывается очень малым, даже при малых плотностях энергии поля. Поэтому в квантовых приборах диапазона СВЧ спонтанные переходы обычно можно не учитывать. Они представляют интерес только при расчете шумов.

Соотношения (1.11) и (1.12) получены для ансамбля микрочастиц, находящихся в состоянии теплового равновесия, но они справедливы при любых неравновесных условиях. Это следует из того, что в (1.11) и (1.12) не входят какие-либо параметры, зависящие от природы внешнего электромагнитного поля и распределения населенностей по уровням.

1.2.4. Релаксационные переходы

Основной причиной релаксационных переходов в твердом теле является взаимодействие микрочастиц с кристаллической решеткой, в газе – взаимодействие с другими микрочастицами и со стенками сосуда. В отличие от спонтанных и вынужденных переходов релаксационные переходы являются безызлучательными, т.е. не сопровождаются излучением или поглощением фотонов. При релаксационных переходах происходит обмен энергией между микрочастицами и их окружением. Например, если в результате взаимодействия с кристаллической решеткой атом переходит с верхнего уровня W_j на нижний W_i, то он отдает квант энергии тепловым колебаниям решетки. Напротив, при переходе атома с нижнего уровня на верхний квант энергии передается от тепловых колебаний решетки атому. Обмен энергией между квантовой системой и ее окружением способствует установлению теплового равновесия между ними.

Процесс возвращения системы в состояние теплового равновесия называется релаксацией. Скорость этого процесса характеризуется вероятностями релаксационных переходов в 1 секунду в расчете на 1 микрочастицу. Обозначим вероятность релаксационного перехода с уровня W_j на уровень W_i через w_ji, а вероятность перехода с уровня W_i на уровень W_j через w_ij, и найдем соотношение между ними. Число релаксационных переходов вниз в 1 секунду равно произведению населенности верхнего уровня на вероятность соответствующего перехода, т.е. . Аналогично, число переходов вверх составляет . Если квантовая система находится в состоянии теплового равновесия, то населенности уровней и постоянны во времени. Следовательно, число переходов в обоих направлениях в единицу времени должно быть одинаковым. Полагая, что спонтанные переходы не имеют существенного значения в установлении и поддержании равновесного распределения населенностей, можно записать Отсюда, используя (1.2), находим соотношение между вероятностями релаксационных переходов вверх и вниз

(1.13)

Из полученного выражения видно, что вероятности релаксационных переходов вверх всегда меньше вероятности релаксационных переходов вниз. В диапазоне СВЧ обычно выполняется условие поэтому , т.е. мало отличается от . В оптическом диапазоне