Поверхность представляется в виде тонкой, гибкой и не растяжимой пленки. Путем изгибания поверхностью фигуру, полученную на плоскости, называют разверткой. Если поверхность можно совместить с плоскостью без складок и разрывов, то поверхность называют развертывающейся, в противном случае – неразвертывающейся. К развертывающимся поверхностям относятся многогранные, цилиндрические, конические и торсовые. Для них можно построить точную развертку, для неразвертыващихся приближенную или условную.
При построении развертки между точками поверхности и точками развертки устанавливается взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждой точке поверхности соответствует одна точка поверхности и наоборот. При этом сохраняются следующие величины: длины отрезков линий ( |АВ| = |А0В0|); углы между ними (0 = 00); площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями , 0 (рис. 1 б) развертка поверхности (рис. 1 а). Линия на поверхности, которой на развертке соответствует прямая, определяет кратчайшее расстояние между точками поверхности. Такую линию называют геодезической, отрезок [СD] - геодезическая линия, [С0D0]- отрезок прямой (рис 1).
Построение развертки сводится к определению истинной величины плоских фигур и площадей криволинейных частей конструкции, ограничивающих ее, и ведется в следующем порядке:
1. проводится анализ поверхности конструкции, определяется характер поверхностей, ограничивающих конструкцию (развертывающиеся или нет);
2. аппроксимируются неразвертывающиеся поверхности коническими или цилиндрическими поверхностями;
3. вписываются в криволинейные поверхности (или описываются около них) многогранники;
Общим методом построения разверток криволинейных поверхностей является метод триангуляции, при котором поверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной или описанной многогранной поверхностью, грани которой – треугольники, а затем строится развертка многогранной поверхности, которая будет приближенной или условной разверткой криволинейной поверхности.
Этот метод применяется при построении развертки конической поверхности, которая аппроксимируется вписанной (реже описанной) пирамидальной поверхностью. Построение развертки конуса сводится к построению развертки пирамиды, у которой боковые грани являются треугольниками.
Рассмотрим построение пирамиды SABC .
Для построения развертки пирамиды необходимо знать длину каждого ребра. Основание пирамиды лежит в плоскости, параллельной плоскости П1, а потому на эту плоскость отрезки АВ, АС и СB проецируются в истинную величину, и их длину можно измерить на горизонтальном поле проекций. Длины ребер AS, BS, CS находим вращением их вокруг горизонтальной оси i до фронтального положения, а потому S1A1, S1B1, S1C1 параллельны оси Х, фронтальные проекции S2A2, S2B2, S2C2 имеют длину, равную длине ребер пирамиды.
После того как найдены длины всех ребер, приступаем к построению развертки. Для этого на свободном чертеже построим треугольник А0В0S0, равный грани АВS, причем |А0S0| = |A2B2|, |S0B0| = |S2B2|, где |A0B0| = |S2C2|, |A0C0| = |A1C1|, |B0C0| = |B1C1|. К боковой развертке примыкает основание А0В0С0.
При построении развертки поверхности иногда приходится наносить линию, расположенную на ней, например линию пересечения с другой поверхностью. На рис. 2 показано построение линии а (1 2 3) (11 21 31, 12 22 32).
Сначала найдены точки 12, 22, 32, а затем построены 10, 20, 30 на развертке, причем |10S0|= |S212|, |S020| = |S222|, |S030| = |S232|.
Метод триангуляции рационально использовать при построении развертки неразвертывающихся линейчатых поверхностей (цилиндроида, коноида, косой плоскости).При этом поверхность разбивают образующими на криволинейные четырехугольники, а затем в каждом четырехугольнике проводят диагонали, т.е. поверхность триангулируют. В этом случае поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью, все грани которой треугольники. На рис. 3 показана триангуляция куска поверхности косой плоскости (а, b, П2).
Для построения развертки достаточно найти длины направляющих а, b и диагоналей четырехугольников. Так как образующие косой плоскости параллельны П2, они проецируются на нее в истинную величину.
Длины направляющих а и b найдены методом прямоугольного треугольника, а длины диагоналей – вращением до фронтального положения.
Построение развертки рекомендуется начать с треугольника 102040, затем пристроить к нему 103040, а далее - 304060 и т.д.
