РАСЧЕТ ЗАЦЕПЛЕНИЙ НА ПРОЧНОСТЬ

6.1. Прочностные расчеты фрикционных передач и мальтийских механизмов

Основным критерием работоспособности и расчета фрикционных передач с металлическими роликами или дисками является их контактная прочность, которая зависит от значения контактных напряжений:

, (6.1)

где - приведенный модуль упругости; - приведенный радиус; - сила притяжения двух дисков; - радиусы кривизны в точках контакта; , - коэффициенты Пуассона материалов двух дисков; - модули упругости этих дисков; - ширина площадки контакта; - допускаемое контактное напряжение для менее прочного из материалов этих дисков.

Наиболее распространено сочетание материалов дисков (роликов): закаленная сталь по закаленной стали; текстолит (гетинакс) по стали, бронза или латунь по стали.

Для закаленных сталей МПа, для текстолита МПа, для латуни (бронзы) по стали МПа.

Для фрикционной передачи с гибкой связью наибольшего значения напряжения достигают в сечении ремня при набегании его на малый шкаф

, (6.2)

где - модуль упругости ремня ; - его толщина; - вращающий момент на валу, диаметром ; - площадь поперечного сечения гибкой связи; s₀ =F₀/S- напряжение предварительного натяжения, равное для резинотканевых s₀ =1,8 МПа ремней, для синтетических s₀ =10 МПа, для клиновых s₀=1,2-1,5 МПа.

Модуль упругости равен МПа для резинотканевых, для капроновых МПа, для клиновых МПа.

Условие (65) используют для определения межосевого расстояния фрикционной передачи /2/:

(6.3)

Знак «плюс» ставится при внешнем контакте катков , а знак «минус» - при внутреннем, считая и , а ширина диска , где - коэффициент ширины ролика. При известном межосевом расстоянии диаметры катков находят из очевидных формул:

(6.4)

(6.5)

Уточнив геометрические параметры передачи, определяют и проверяют условие (6.1). Расчет на прочность мальтийского механизма проводят аналогично, рассматривая кривизну замков креста и кривошипа, и выбирая им соответствующие материалы.

6.2. Износостойкость механизма винт–гайка

Расчет сводится к определению фактического среднего контактного напряжения (давления) P между ветками винта и гайки и сравнению его с допускаемым [p].

Условие износостойкости в предложении равномерного распределения нагрузки по виткам резьбы равно

, (6.6)

где d₂ и h₁ – средний диаметр и рабочая высота профиля резьбы; z – число витков; [p] – допускаемое контактное давление; F_a – осевая сила.

Допускаемые напряжения для пар материалов винт – гайка: закаленная сталь – бронза [p]=10-13 МПа, незакаленная сталь и бронза [p]=8-10 МПа. Для механизмов точных перемещений значение [p] принимает в 2-3 раза меньше, чем для механизмов общего назначения.

Заменив в приведенной выше формуле z на h/p₂, где р₁ – шаг резьбы, h – высота витка и обозначив j_H=h/d₂ – коэффициент высоты гайки, j_h=h₁/p – коэффициент рабочей высоты профиля резьбы, получим формулу для проектировочного расчета передачи

. (6.7)

Принимают j_h=0,5 для трапецеидальной и j_h=0,75 для упорной резьбы, j_H=1,2 - 1,25 для целевых гаек и j_H=2,5-3,5 для разъемных гаек. Длину винта выбирают конструктивно в зависимости от требуемого перемещения l. Наружный диаметр гайки D определяют из условия прочности ее тела на растяжение и кручение

, (6.8)

где k=1.25 для трапецеидальных и k=1.2 для прямоугольных и метрических резьб; [s_p] – допускаемое напряжение на растяжение для бронзы равное 34¸44 МПа.

6.3. Расчет на прочность цилиндрических и конических зубчатых передач

Определение контактной прочности рабочих поверхностей зубьев производят в полюсе зацеплений П (рис. 9). Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами r₁ и r₂, а формулу (65) записывают в виде m₁»m₂»m:

, (6.9)

где для прямозубых передач нормальная нагрузка:

, (6.10)

где K_И, K_H, K_N – коэффициенты нагрузки учитывающие соответственно распределение нагрузки между зубьями (для прямозубых K_И = 1), неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого венца и дополнительные динамические нагрузки; l – суммарная длина контактных линий, зависящая от коэффициентов торцевого перекрытия e и ширины венца колес b₂ (при однопарном зацеплении) и 2b₂ (для двухпарного зацепления).

При расчете l определяют по формуле:

, где . (6.11)

Приведенный радиус кривизны:

, (6.12)

где r₁=d₁/2×sina_w и r₂=d₁×U/2×sina_w – радиусы эвольвентных профилей зубьев. Подставив значения q и r_пр в формулу (6.12) и заменив sina_w×cosa_w= sin2a_w/2 получим:

, (6.13)

где Z_M= – коэффициент, учитывающий механические свойства материала сопряженных зубчатых колес, для стальных равный Z_M=275 H^1/2 мм, Z_H= – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе П, при a_w=20⁰, Z_H=1,76; Z – коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий, для прямозубых передач Z»0,9.

Учитывая, что F_t=2T₂/d₂, где d₂=2a_wu/(u+1) и заменив d₁=d₂/u₁, K»1 получим формулу проверочного расчета прямозубых передач:

, (6.14)

где s_N и [s _N] – расчетное и допускаемые контактные напряжения, Н/мм²; Т – Н×мм; a_w и b₂ – мм.

Учитывая, что b₂=j_ba× a_w, получим формулу проектировочного расчета прямозубых передач

, (6.15)

Рассчитанные значения a_w (мм) выбирают из ряда: 20; 30; 40; 50; 62; 80; 100; 125; 140; 160; 180; 200; 324; 250; 280; 315; 355; 400 и т.д.

Поскольку для зубчатых колес используют не только сталь, но и другие материалы выражение для a_w принимает следующий вид

, (6.16)

где E_пр – приведенный модуль.

Обычно принимают значения K_HV »1,25, K_HP »1.

Далее, рассматривая зуб как консольную балку, определяют напряжение изгиба в опасном сечении по формуле /1,2/

, (6.17)

где s_f и [s_f] – расчетное и допускаемое напряжение изгиба, Н/мм; F_t – окружная сила; m – модуль, мм; Y_f – коэффициент формы зуба, безразмерная величина, зависящая от числа зубьев Z; K_f, K_fV – коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого венца и дополнительной динамической нагрузки в зацеплении.

При твердости материала хотя бы одного из колес меньше 350 НВ и скорости V£15 м/с, что практически наблюдается для большинства зубчатых передач РЭС, принимают K_N=1,0; K_f=1,0; K_fV=1,4. Значения для зубчатых колес без смещения равны /7/ (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Значения Y_f

Из–за меньшего числа зубьев зуб шестерни у основания более тонкий, чем у колеса, что отражено в большем значении Y_f. Для обеспечения примерно равной прочности зубьев шестерки и колеса на изгиб, шестерню делают из более прочного материала, чем колесо. Зубья шестерни и колеса будут иметь примерно равную прочность при условии: [s_f]₁/ Y_f »[s_f2]/ Y_f2. Модуль зубьев m определяют расчетом на изгиб исходя из межосевого расстояния a_w, полученного из условия контактной прочности. В этом случае, заменяя F_t=2T₂/d₂, где d₂=2a_wu/(u+1), получим для модуля следующее выражение:

. (6.18)

В формулу (6.18) вместо [s_f] подставляют меньшее из значений [s_f1] и [s_f2]. Полученное значение модуля округляют в большую сторону до стандартного. Формула (6.18) является основной для определения m прямозубых передач, рассчитываемых на контактную прочность. При этом обеспечивается примерно равная контактная и изгибная прочность зубьев.

Допускаемые контактные напряжения определяют по формуле (Н/мм² или МПа)

, (6.19)

где s_HO – предел контактной выносливости рабочих поверхностей зубьев, соответствующий базе испытаний (числу циклов перемены напряжений); [S_H] – допускаемый коэффициент безопасности, равный [S_H]=1,1 при однородной структуре материала (нормализация, улучшение, объемная закалка) и [S_H]=1,2 при неоднородной структуре (поверхностная закалка, цементация, азотирование); K_Hl – коэффициент долговечности, учитывающий влияние срока службы и режима нагрузки:

, (6.20)

где N=60nt – расчетное число циклов нагружения на весь срок службы, n – частота вращения колес (об/мин), t – срок службы (ч).

Обычно при длительной работе передачи выбирают K_Hl»1. При расчете цилиндрических прямозубых передач в качестве допускаемого контактного напряжения [s_H1], [s_H2] принимают [s_H] того зубчатого колеса, для которого оно меньше, как правило, это [s_H2], т.е. [s_H]= [s_H2]. Допускаемое напряжение изгиба [s_f], Н/мм², определяют из соотношения:

, (6.21)

где s_fo – предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий базе испытаний; [S_f] – допускаемый коэффициент безопасности , равный [S_f]=1,75 для колес, изготовленных из подковок и штамповок, [S_f]=2,3 из литых заготовок; K_fC – коэффициент, учитывающий влияние приложения нагрузки, K_fC=1 при одностороннем приложении нагрузки (передача не реверсная) и K_fC=0,7¸0,8 при двустороннем приложении нагрузки (передача реверсная); K_fl – коэффициент долговечности; при твердости £350 НВ 1£ K_fl = <2,1; при твердости ³350 НВ его значение лежит в пределах 1£ K_fl £ 1,63; при длительно работающей передаче выбирают K_fl = 1.

Пределы контактной и изгибной выносливости зубьев определяют из табл. 6.2

Таблица 6.2

Значения s_HO и s_fo

Расчет на прочность начинают с выбора материала, условий термообработки и способов изготовления колес, а затем находят [s_H1],[s_H2], [s_f1] [s_f2], задаваясь наименьшим [s_H] и [s_f] определяют a_w и m. Далее, округляя эти значения до стандартных a_wc и m_c рассчитывают и проверяют условия прочности (6.14) и (6.17) для стандартных a_wc и m_c.

Если условия прочности выполняются, то расчет закончен, если не выполняется, то изменяют материал и условия термообработки.

Допускаемые контактные напряжения для колес, изготовленных из латуней и бронз определяются выражениями [s_H] » 0,9×s_b, где s_b – предел прочности на растяжение и [s_f] = (0,20¸0,25)× s_b.

При проверочном расчете конических прямозубых передач сначала определяют внешний делительный диаметр колеса по формуле /7/

. (6.22)

Значения d₁₂ регламентированы ГОСТ 12289-76. При известном d₁₂ формула проверочного расчета прямозубых конических передач на контактную прочность имеет вид

, (6.23)

где [s_H] и s_H – допустимое и расчетное контактное напряжения, Н/мм²; T₂ – крутящий момент Н×мм, d₁₂ – мм. Коэффициент динамической нагрузки при твердости поверхности зубьев колеса £ 350 НВ равен K_HV=1,2 при ³ 650 НВ, значение K_HV=1,1.

Коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине зубчатого венца K_H составляет K_H»1,01¸1,02 /7/. Внешний окружной модуль определяют расчетом на изгиб по формуле

, (6.24)

где v_f – коэффициент вида конических колес, для прямозубых колес v_f=0,85; K_r=1,0 для колес с прямыми зубьями; b – ширина зубчатого венца.

Полученное значение m можно округлить до стандартного.

Затем определяется эквивалентное число зубьев шестерни и колеса:

;

и для них находится коэффициент формы зуба Y_f1 и Y_f2 (табл. 4).

6.4. Расчет на прочность червячных передач

Расчет на контактную прочность зубьев червячного колеса проводят по аналогии с расчетом зубчатых передач по формуле (6.10), в которой величина нормальной нагрузки q на единицу длинны контактных линий колеса и червяка равна:

. (6.25)

В осевом сечении витки червяка имеют профиль прямообочной рейки с радиусом кривизны r₁ = w, поэтому приведенный радиус кривизны r_пр червячной пары равен кривизне профиля червячного колеса в полюсе зацепления и определяется выражением

. (6.26)

Приведенный модуль упругости Е_пр=2Е₁×Е₂/ Е₁+Е₂, где Е₁=2,1×10⁵ МПа – модуль упругости стального колеса и Е₂=0,98×10⁵ МПа – модуль упругости бронзового колеса. В связи с этим приведенный модуль равен Е_пр=1,33×10⁵ МПа, принимая коэффициент Пуассона равным m₁»m₂=0,3. Подставив выражения для q, r_пр, E_пр в формулу (6.10) после преобразования получают формулу проверочного расчета на контактную прочность /7/

, (6.27)

где s_H2 и [s_H2] – расчетное и допускаемое контактные напряжения в зубьях колес, Н/мм²; a_w – межосевое расстояние, мм; T₂ – вращающий момент на червячном колесе, Н×мм.

Решив это уравнение относительно a_w получаем формулу проектировочного расчета червячных передач

, (6.28)

где K_H=K×K_V, величина К – коэффициент концентрации нагрузки, близкой к единице К»1,0; К_V ­– коэффициент динамической нагрузки, зависящий от окружной скорости червячного колеса V­₂. Окружную скорость V­₂ рассчитывают по формуле

, (6.29)

где n₁ – частота вращения червяка; U – передаточное число; d₂ – делительный диаметр колеса.

Для окружной скорости червячного колеса V₂£ 3 м/с принимают К_V=1, а при V₂>3 м/с принимают К_V=1,1¸1,3. Далее определяют прочность зубьев червячного колеса на изгиб

, (6.30)

где коэффициент формы зуба Y_f2 выбирают в зависимости от эквивалентного числа зубьев колеса z_v2=z₂/cos³g

Таблица 6.3

Значения параметра Y_f2

Коэффициент нагрузки равен К_f»1,0.Допускаемые контактные напряжения для колес из оловянных бронз (Бр010Ф1 и др.) определяют из условия

, (6.31)

где [s_H0] =0,9b – допускаемое контактное напряжение при числе циклов перемены напряжений N_H=10⁷; s_b – предел прочности бронзы при растяжении; C_v­ – коэффициент износа зубьев колеса зависит от скорости скольжения

(м /с):(6.32)

Таблица 6.4

Значения скорости C_v

K_Hl – коэффициент долговечности равный , если N₂>25×10⁷, то K_Hl=0,67. Обычно при полном ресурсе службы t=20000 ч. n₁»100 об/мин, K_Hl=0,76.

Допускаемые контактные напряжения для колес из оловянных бронз, латуней (БрА9ЖЗЛ, ЛЦ23А6Ж3Мц2) рассчитывают s_H2=300-25×V_s (для бронз) и s_H2=375-25×V_s (для латуней), они зависят от скорости скольжения V_s. Допускаемые напряжения изгиба при нереверсивной передаче (зубья работают одной стороной) для всех марок бронз и латуней

, (6.33)

где s_Т – предел текучести; s_b – предел прочности; – коэффициент долговечности при расчете на изгиб, N_z2 – число циклов нагружения зубьев колеса.

Если N_z2=10⁶, то K_fl=1,0; при N_z2=9×10⁷, K_fl=0,61. Обычно значение К_f1 выбирают равному последнему значению. При реверсивной передаче (зубья работают обеими сторонами) – [s_f]=0,8[s_f]₂.

Контрольные вопросы

1. От чего зависит величина контактной прочности

фрикционных передач с жесткими дисками?

2. Как определяются максимальные напряжения для

фрикционных передач с гибкой связью?

3. От чего зависят приведенный радиус и приведеный

модуль при расчете контактных напряжений?

4. Объясните методику расчета на контактную и

изгибную прочность цилиндрических прямозубых передач?

5. Как производится расчет на контактную и

изгибную прочность конических зубчатых передач?

6. Чем отличается расчет контактных напряжений

для червячных механизмов и для прямозубчатых передач?

7. Как производится расчет на контактную и

изгибную прочность червячных зубчатых механизмов?

8. Каким образом определяются допускаемые

контактные и изгибные напряжения для зубчатых стальных колес?

9. Как рассчитываются допускаемые контактные и

изгибные напряжения для червячной зубчатой передачи?

10. От чего зависит скорость скольжения червячного

колеса и как она влияет на величину контактных напряжений?

11. Каким образом определяются допускаемые

контактные и изгибные напряжения для зубчатых колес, изготовленных из латуни, алюминиевых сплавов и пластмасс?

12. Как определяется коэффициент долговечности в

зависимости от твердости стальных зубчатых колес?

13. Каким образом рассчитываются пределы

контактной и изгибной выносливости и как влияет термообработка на значение этих величин?