Точность и надежность статистической оценки

Понятие о распределении Стьюдента и хи–квадрат. Если случайная величина X подчинена нормальному закону, то для оценки параметров и проверки различных гипотез относительно этих параметров необходимо знание точного распределения некоторых выборочных характеристик. Например, для нахождения распределения эмпирической дисперсии необходимо исследовать распределение характеристик случайной величины, представляющей собой сумму квадратов n независимых случайных величин , каждая из которых подчиняется нормальному закону с параметрами a=0 и .

Распределение случайной величины, удовлетворяющей этим условиям, называют хи–квадрат распределением или - распределениемс k=n степенями свободы.

Число степеней свободы равно числу независимых переменных минус число связей, накладываемых на эти переменных. Если величины связаны одним линейным соотношением, например, , то число степеней свободы k=n-1.

Дифференциальная функция - распределения для нее имеет вид

при x>0, f(x)=0 при x<=0. Здесь

- гамма – функция.

В частности, если x=n, то

Для дифференциальной функции - распределения из-за ее сложности составлены таблицы, позволяющие вычислять вероятности , того, что случайная величина, распределенная по закону с известным числом степеней свободы k, превысит некоторое фиксированное значение .

График плотности вероятности - распределения при числе степеней свободы n=1, 2 и 6 изображен на рис. 5.3.

Рисунок 5.3 - График плотности вероятности - распределения

Распределение статистики не зависит ни от математического ожидания случайной величины X, ни от дисперсии, а зависит лишь от объема выборки n. Если случайная величина имеет распределение с k=n степенями свободы, то математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: .

Пример. Случайная величина имеет - распределение с числом степеней свободы 5. Найти отклонение , вероятность превышения которого равна 0.2.

Решение.

Из условия задачи следует, что надо найти такое значение , чтобы выполнялось равенство .

Искомое значение ищется на пересечении строки 5 и столбца 0,2 таблицы (приложение). Оно равно 7,3, поэтому .

Распределение обладает тем свойством, что сумма величин , распределенные по закону со степенями свободы равными , также распределена по закону с степенями свободы.

При решении многих задач статистики приходится иметь дело со случайными величинами, имеющими так называемое распределение Стьюдента или t-распределение. Это же распределение применяется при нахождении оценки отклонения выборочного среднего от центра нормального распределения.

Распределение Стьюдента имеет случайная величина

, где Z – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a=0 и ; V – независимая от Z случайная величина, распределенная по закону с k=n степенями свободы.

Дифференциальная функция распределения Стьюдента имеет вид

.

Распределение Стьюдента обладает тем свойством, что с возрастанием числа степеней свободы оно быстро приближается к нормальному распределению (рис.5.4).

Рисунок. 5.4 – Графики нормального распределения и t - распределения

Доверительные границы для средних.Статистические оценки параметров распределения генеральной совокупности, рассмотренные ранее, являются точечными оценками. Если объем выборки невелик, то точечная оценка параметра может значительно отличаться от самого параметра. Поэтому в этих случаях применяют интервальную оценку. Задача интервальной оценки заключается в том, что по данным выборки строится такой числовой интервал (доверительный интервал), внутри которого с заранее заданной вероятностью, близкой к единице, будет находиться оцениваемый параметр.

Пусть для неизвестного параметра a найдена оценка и задана вероятность , близкая к единице (доверительная вероятность). Требуется найти такое значение , чтобы интервал длины 2 накрыл искомое значение параметра a с вероятностью (надежностью) , иначе говоря, выполнялось равенство

или .

Безусловно, чем меньше длина интервала, тем точнее оценка искомого параметра a. При этом выбор доверительной вероятности (надежности) не является математической задачей, а определяется условиями задачи.

Например, пусть на двух предприятиях вероятность выпуска стандартных изделий равна 0,99, т.е. вероятность бракованных изделий равна q=0,01. Мала или велика эта вероятность? Для ответа на этот вопрос необходимо знать характер выпускаемой продукции. Пусть одно предприятие выпускает гвозди, а другое – парашюты. Если из 100 гвоздей один окажется бракованным, то с этим в какой-то степени можно мириться. Если же из каждых 100 парашютов один будет бракованным, то это может привести к многочисленным несчастным случаям, что недопустимо.

Задача построения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратичном отклонении сводится к следующему.

Обозначим неизвестное математическое ожидание через a, оценку же для него - .

Для нормального распределения

; ; .

Найдем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр a с надежностью , т.е. найдем такое , чтобы выполнялось равенство

. (5.6)

Для этого воспользуемся формулой

, где Ф(x) – интеграл вероятности.

Заменив в ней X на и на , получим

, где .

На основании равенства (5.6) можем записать, что

, отсюда .

Число t определяется по таблице значений функции Лапласа. Затем из соотношения находится оценка . С учетом этого доверительный интервал будет

. (5.7)

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратичным отклонением . Построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания соответствующий доверительной вероятности , если объем выборки n=25.

Решение.

Найдем t из соотношения . По таблице значений функции Лапласа находим t, соответствующее значению Ф(t)=0.95/2=0.475. Оно будет t=1.96.

Определяем точность оценки

.

Следовательно, доверительный интервал будет

.

Полученный результат говорит о том, что этот доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание a с вероятностью 0,95.

Задача построения доверительного интервала для оценки среднегоквадратичного отклонения нормального распределения, покрывающего параметр с заданной надежностью по исправленному среднему квадратичному отклонению s.

Решение задачи сводится к нахождению такого числа , чтобы выполнялось равенство

или .

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство

.

Обозначив , получим

. (5.8)

Таким образом, задача построения искомого доверительного интервала свелась к нахождению величины q.

Не вдаваясь в детали, отметим, что для этой цели вводится случайная величина X, равная

,

дифференциальная функция которой имеет вид

.

Для нахождения доверительной вероятности используется формула

, где .

Из равенства (5.8) по заданному n и находится значение .

Функция табулирована.

Следовательно, для построения искомого доверительного интервала достаточно по таблице найти соответствующее значение функции , а затем в двойное неравенство подставить значения s и q.

Пример. Построить доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение с надежностью , если по выборке объема n найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s:

а)

б) .

Решение.

По таблице значений функции находим:

а) ; искомый доверительный интервал будет

; или

.

б) ; искомый интервал будет или .

Так как среднее квадратичное отклонение всегда положительно, то окончательно получим, что .