ГРАФИКА. НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ

Цель работы: Научиться с помощью программы Mathematica строить двумерные и трехмерные графики, находить экстремумы функций.

Краткие теоретические сведения

Система Mathematica обладает широкими графическими возможностями и имеет для этого множество функций. Двумерные графические объекты, т.е. графики функций от одной переменной, создают функции Plot, ParametricPlot, ListPlot. Трехмерные графические объекты, т.е. графики функций от двух переменных, создают функции Plot3D, ParametricPlot3D, ListPlot3D, ContourPlot и другие.

Все эти функции, кроме аргументов, значения которых обязательно указываются пользователем при обращении к функции, имеют большое количество необязательных аргументов, или опций. Значения опций установлены по умолчанию, но могут быть изменены пользователем. Опции определяют стиль и дополнительные элементы графических рисунков и позволяют добиться максимальной информативности и выразительности.

Информацию об опциях можно получить в справочной системе Help. В примерах рассматриваются, например, команды Options[Plot], Options[Plot3D], которые выдают список опций этих функций.

Для построения двумерных графиков функции одной переменной чаще всего используется встроенная в ядро функция Plot. Команда Plot создает график функции аргумента в интервале от до .

Пример

…Graphics…

С помощью этой функции можно чертить графики сразу нескольких функций. Например, команда Plot создает график трех функций аргумента в интервале от до .

Пример

…Graphics…

Для функции Plot предусмотрен ряд опций, позволяющих задавать цвета линий и фона, подписывать оси координат и т.д. Рассмотрим одну из них. Например, опция AspectRatio задает отношение высоты к ширине двумерного рисунка. Пользователь может установить его равным любому числу , добавив в функцию Plot аргумент AspectRatio . По умолчанию, т.е. если опция пользователем специально не указана, то это число равно 1/GoldenRatio, где GoldenRatio – «золотое сечение», приближенно равное 1,61803. Указанная в качестве аргумента опция AspectRatio Automatic сохранит на графике действительные пропорции между координатами.

Пример. В таблице рассматривается график функции без дополнительных опций и с применением опции AspectRatio Automatic.

…Graphics…

Для создания трехмерных графиков поверхностей используется в основном функция Plot3D. Команда Plot3D создает график функции аргументов и в интервалах: по переменной от до , по переменной от до .

Пример

…SurfaceGraphics…

Как и для функции Plot, для Plot3D предусмотрен целый ряд опций. Характерной чертой Plot3D является заключение графика функции в коробочку, от которой можно избавиться с помощью опции Boxed False.

Пример

…SurfaceGraphics…

С помощью опции PlotPoints можно задать плотность точек, по которым строится поверхность. По умолчанию она равна 20 точкам на одну квадратную единицу. Увеличив ее, предположим, до 100 аргументом PlotPoints , мы получим более точный график, хотя его построение займет большее количество времени. Дополнительной опцией Mesh False можно убрать сетку, соединяющую опорные точки на поверхности, которая имеется по умолчанию (т.е. по умолчанию Mesh True). При высокой плотности точек это позволяет получить более наглядное представление о поверхности.

Пример

…SurfaceGraphics…

Для нахождения экстремумов функций одной и нескольких переменных в программе Mathematica предусмотрены функции Minimize и Maximize, а также FindMinimum и FindMaximum. К сожалению, все эти функции не всегда находят имеющиеся экстремумы, а если и находят, то только один, причем в функциях FindMinimum и FindMaximum ближайший к заданной точке. Поэтому для нахождения экстремумов можно порекомендовать перед применением этих функций изобразить график функции или решить уравнение (систему уравнений для функций нескольких переменных), приравняв нулю первую производную. Затем в функциях FindMinimum и FindMaximum задавать начальные точки близкие, но не равные точкам возможного экстремума.

Пример.Исследовать функцию на экстремум.

Plot [ 2 x ³ – 3 x ² – 36 x , { x , – 10 , 10 } ]

…Graphics…

Очевидно, что, ориентируясь только на графическое представление функции, невозможно точно найти экстремумы. Возможно лишь определить характер (минимум или максимум) экстремумов, заключенных в изображенном на графике интервале и их приближенное значение. Остается неизвестным количество и характер экстремумов за пределами изображаемого интервала.

Найдем точки возможного экстремума (критические точки). Данная функция дифференцируема на всей числовой оси. С помощью функции Solve решим уравнение, приравняв нулю первую производную по x:

Solve [D [ 2 x ³ – 3 x ² – 36 x , x ] == 0 ]

{{x – 2}, {x 3.}}

Мы получили всего две критические точки. Учитывая построенный график этой функции, в функциях FindMinimum и FindMaximum задаем начальные точки близкие, но не равные точкам возможного минимума и максимума .

FindMinimum [2 x ³ – 3 x ² – 36 x , { x , 1}]

{-81.,{x 3.}}

FindMaximum [ 2 x ³ – 3 x ² – 36 x , { x , -1}]

{44.,{x – 2 }}

Ответ:Функцияимеет две точки локального экстремума. В точке локального минимума функция принимает значение , а в точке локального максимума функция равна .

Содержание отчета

1 Название работы.

2 Цель работы.

3 Исходная постановка задачи.

4 Решение.

5 Выводы по результатам проделанной работы.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1 Построить график функции ,.

2Построить график функции, , сохраняя действительные пропорции.

3 Найти точки пересечения графиков функций и аналитически и графически.

4 Изобразить поверхность , , , указав плотность точек 60.

5 Исследовать функции на экстремум и построить их графики

а) ,

б) ,

в) .

Вариант 2

1 Построить график функции , .

2Построить график функции,, сохраняя действительные пропорции.

3 Найти точки пересечения графиков функций и аналитически и графически.

4 Изобразить поверхность , , , указав плотность точек 60.

5 Исследовать функции на экстремум и построить их графики

а) ,

б) ,

в) .

ЛИТЕРАТУРА

1 Брезгунова, И. В. Работа в системах компьютерной математики MATHCAD, MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB / И. В. Брезгунова,
С. В. Гилевский, А. В. Гринчук. – Мн. : РИВШ БГУ, 2001.

2 Воробьев, Е. М. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений «Математика-5» / Е. М. Воробьев. – М. : «ДИАЛОГ-МИФИ», 2005.

3 Дьяконов, В. П. Mathematica 4 : учеб. курс / В. П. Дьяконов. – СПб. : Питер, 2001.

4 Рычков, В. Компьютер для студента. Самоучитель / В. Рычков,
В. Дьяконов, В. Новиков. – СПб. : Питер, 2000.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………..……………………………………...……….......…..3

Лабораторная работа № 1

Работа с выражениями. Решение уравнений и систем уравнений….………...….4

Лабораторная работа № 2

Решение задач математического анализа……………………………………........15

Лабораторная работа № 3

Графика. Нахождение экстремумов…………………………………......….…..…22

Литература .................................................................................................................29

План 200_/200_, поз.

Петрович Ася Вениаминовна

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей

1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии»

1-26 02 03 «Маркетинг»

1-45 01 03 «Сети телекоммуникаций»

Редактор

Подписано к печати__________

Формат 60×84/16

Усл.печ.л._____уч.-изд.л._____

Тираж ______ экз. Заказ______

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

220114, г. Минск, ул. Ф. Скорины 8, к.2