Цель работы: Научиться с помощью программы Mathematica находить пределы функций, производные, интегралы, решать дифференциальные уравнения, представлять результат в аналитическом и численном видах.
Краткие теоретические сведения
Для выполнения основных операций математического анализа в программе Mathematica предусмотрен набор команд, как с помощью клавиатуры, так и помощью палитр BasicInput и BasicCalculations. В таблицах 3-7 рассмотрены примеры реализации наиболее часто используемых действий, верхняя строка примеров представляет собой команду ввода, нижняя – вывода.
Таблица 3 – Нахождение пределов
Действие
Реализация
Нахождение пределов
Нахождение предела
Нахождение односторонних пределов
Нахождение предела слева
¥
Нахождение предела справа
-¥
Таблица 4. Нахождение сумм рядов
Набор с помощью клавиатуры
Набор с помощью палитры
Нахождение сумм рядов
Вычисление суммы в численном виде
0.644934
0.644934
Замечание 1. Набор с помощью шаблонов палитр упрощает и ускоряет набор команд, а также уменьшает количество ошибок при наборе, так как шаблоны функций соответствуют общепринятым в математике обозначениям.
Замечание 2. Если программа Mathematica получит результат о расходимости ряда, то перед строкой вывода появится замечание: Sum does not converge, а строка вывода повторит запись исходного ряда.
Замечание 3. Если программа Mathematica не может вычислить аналитически, к чему именно сходится заданный ряд, но «считает», что он сходится, то строка вывода повторит запись исходного ряда. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.
Пример. С вычислением аналитически, к чему именно сходится ряд вида , программа Mathematica не «справилась», но «считает», что он сходится (замечание «Sum does not converge» не появилось). Строка вывода повторяет запись исходного ряда, численно был получен следующий результат:
1.58462+0.ä
Таблица 5 – Дифференцирование
Набор с помощью клавиатуры
Набор с помощью палитры
Нахождение производной
D[Sin[x],x]
Cos[x]
Cos[x]
Нахождение производной высших порядков
24 x
24 x
Нахождение смешанной производной
Нахождение полного дифференциала
Замечание 4. Даже если задана функция от одной переменной, в команде нахождения производной необходимо указать переменную дифференцирования.
Таблица 6 – Интегрирование
Набор с помощью клавиатуры
Набор с помощью палитры
Нахождение неопределенного интеграла
Integrate[Sin[x],x]
-Cos[x]
Sin[x]âx
-Cos[x]
Вычисление определенного интеграла
Вычисление повторного интеграла
-4
-4
Численное интегрирование
0.904524
0.904524
Замечание 5. Если программа Mathematica не может вычислить опреде-ленный интеграл аналитически, то строка вывода повторяет запись исходного интеграла. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.
Таблица 7 – Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений
Аналитическое решение дифференциальных уравнений
Решение дифференциальных уравнений с начальными условиями
Замечание 6.При вводе функции DSolve следует обратить внимание на то, что и дифференциальные уравнения, и начальные условия записываются с двумя знаками равенства.
Замечание 7. При решении дифференциальных уравнений программа Mathematica часто выводит результат в очень громоздкой форме, которую можно значительно упростить, используя функцию Simplify. При этом сам результат можно не вносить в эту функцию как аргумент, а воспользоваться знаком %, т.е. Simplify[%]. Знак % означает ссылку на результат предыдущей по номеру строки.
Замечание 8. Часто решение дифференциальных уравнений можно получить только в неявном виде, то есть решение, в котором функцию y невозможно выразить с помощью функции от x . Это может быть даже простое уравнение с разделяющимися переменными. Если при этом решение можно получить в явном виде относительно x, то имеет смысл в функции DSolve задать x как функции от y. Тогда программа Mathematica, возможно, «справится» с этим дифференциальным уравнением.
Пример
Относительно функции y программа Mathematica не может решить следующее дифференциальное уравнение:
А относительно функции x программа Mathematica выдает следующий результат:
{{x[y]®Log[C[1]+Log[y]+Sin[y]]}}
Замечание 9. Следует помнить, что константы С[1], C[2] и т.д. в программе Mathematica могут быть выражены не таким же образом, как при решении пользователем.
Содержание отчета
1 Название работы.
2 Цель работы.
3 Исходная постановка задачи.
4 Решение.
5 Выводы по результатам проделанной работы.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1 Найти предел функции .
2 Найти производную функции .
3 Найти сумму ряда:
а) ; б) ; в) .
4 Найти сумму ряда , результат представить в десятичной форме.
5 Найти неопределенный интеграл .
6 Вычислить определенный интеграл .
7 Вычислить приближенно интеграл .
8 Решить дифференциальное уравнение
а) , б) .
9 Решить дифференциальное уравнение , результат упростить.
10 Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
, , .
Вариант 2
1 Найти предел функции .
2 Найти производную функции .
3 Найти сумму ряда
а) ; б) ; в) .
4 Найти сумму ряда , результат представить в десятичной форме.
5 Найти неопределенный интеграл .
6 Вычислить определенный интеграл .
7 Вычислить приближенно интеграл .
8 Решить дифференциальное уравнение
а) , б) .
9 Решить дифференциальное уравнение , результат упростить.
10 Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
слева
¥
справа
-¥
0.644934
0.644934
, программа Mathematica не «справилась», но «считает», что он сходится (замечание «Sum does not converge» не появилось). Строка вывода повторяет запись исходного ряда, численно был получен следующий результат:
Cos[x]
24 x
24 x
Sin[x]âx
-Cos[x]
-4
-4
0.904524
0.904524
.
.
; б) 
; в) 
.
, результат представить в десятичной форме.
.
.
.
, б) 
.
, результат упростить.
, 
, 
.
.
.
; б) 
; в) 
.
, результат представить в десятичной форме.
.
.
.
, б) 
.
, результат упростить.
, 
, 
.