СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение.

Степенным рядомназывается функциональный ряд

(21)

члены которого являются произведениями постоянных C₀, C₁, ... , C_n ,... на степенные функции от разности x-x₀ с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x₀называется центром степенного ряда.

Пример 27.

Ряд – степенной ряд с центром в точке x₀=0.

Ряд – степенной ряд с центром в точке x₀=-3.

Ряд – функциональный ряд.

Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Ответ на этот вопрос можно получить , используя теорему Абеля.

ТЕОРЕМА 10. (Теорема Абеля)

1. Если степенной ряд сходится при x=x₁ (x₁¹x₀), то он сходится, и притом абсолютно, для всех x, удовлетворяющих неравенству

|x-x₀ |<|x₁-x₀|.

2. Если степенной ряд расходится при x=x₂ , то он расходится для всех x, удовлетворяющих неравенству

|x-x₀ |>|x₂-x₀|.

Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x-x₀|<R, ряд сходится абсолютно и расходится при всех x, для которых |x-x₀|>R.

Число R называется радиусом сходимости ряда , а интервал (x₀-R, x₀-R) – интервалом сходимости.

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R=¥) или может превращаться в точку (в этом случае R=0). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Пример 28. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Первый способ. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда : . Применим признак Даламбера:

Если |x-2|<1, то ряд сходится. Итак, -1<x-2<1, 1<x<3 – интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x=1 и x=3, исследуется отдельно.

При x=1 из данного ряда получаем ряд , который условно сходится.

При x=3 получаем гармонический ряд , который расходится.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1<x<3 и условно при .x=1.

Второй способ решения. Если для степенного ряда (2) существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

. (22)

или

В нашем случае и , поэтому . Так как x₀=2 – центр степенного ряда, то (x₀-R, x₀+R)=(1;3) – интервал сходимости данного ряда.

Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1<x<3 и условно при х=1.