ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Числовой ряд. Общий член ряда

Как и для систем алгебраических уравнений одним из методов решения является метод исключения. С его помощью решение системы сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. Поясним этот метод на примере решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 12. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Исключим из первого уравнения неизвестную функцию z. Для этого сначала продифференцируем его по t.

Затем подставим из второго уравнения

,

,

. (1)

Выразим из первого уравнения

,

,

. (2)

Подставим полученное выражение для в (1)

(3)

Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Корни характеристического уравнения равны

Тогда общее решение (3) имеет вид

Чтобы найти , подставим в (2) выражения для и .

Итак, получили общее решение системы

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определения дифференциального уравнения, его общего и частного решений. Сформулируйте задачу Коши для уравнения первого порядка и укажите его геометрический смысл.

2. Изложите метод решения уравнений с разделенными и разделяющимися переменными.

3. Сформулируйте определение линейного уравнения первого порядка. Изложите метод подстановки для нахождения его общего решения.

4. Как интегрируются уравнения вида F(x, y¢, y¢¢)=0, F(y, y¢, y¢¢)=0?

5. Какой общий вид имеет линейное уравнение второго порядка (однородное и неоднородное)? Какие решения его называются линейно-независимыми? Как получить общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами?

6. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

д) . Ответ: .

е) . Ответ: .

7. Решить задачу Коши:

8. Решить системы уравнений:

а) Ответ:

б) Ответ:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Указать тип дифференциальных уравнений и найти их решение. Там, где даны начальные условия, кроме общего, найти соответствующее частное решение.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

40.

Решить системы дифференциальных уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Варианты контрольных заданий 4

Рабочая программа 5

Литература 5

Дифференциальные уравнения 6

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные

относительно производной 7

Дифференциальные уравнения порядка выше первого 12

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами 14 Системы дифференциальных уравнений первого порядка 19

Вопросы и упражнения для самопроверки 20

Контрольная работа №3 22

План 2001/2002, поз. 30

ГладковЛев Львович

Гладкова Галина Александровна

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика», часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45. 01. 03 «Сети телекоммуникаций»

Редактор Вердыш Н.В.

Подписано к печати 14.06.2002

Формат 60S84/16

Усл. Печ. Л. 1,5. Уч. - изд. Л. 1,3

Тираж 60 экз. Заказ 585.

Высший государственный колледж связи

220114 г. Минск, Староборисовский тракт 8, к. 2.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Числовой ряд. Общий член ряда

Определение.

Если дана бесконечная последовательность чисел a₁, a₂, a₃,... , то выражение вида

a₁ + a₂ + a₃ +...+ a _n +...= (16)

называетсячисловым рядом;числа a₁ , a₂ , a₃ , ... – членами (элементами)ряда,a_n– общим членом ряда, если n не зафиксировано.

Пример 12. Дан ряд .

Найти a_n+1.

Решение.

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется n-ой частичной суммой и обозначается через A_n. Следовательно, суммы

A₁=a₁ – 1-ая частичная сумма;

A₂=a₁+a₂ – 2-ая частичная сумма;

A₃=a₁+a₂+a₃ – 3-ая частичная сумма;

¼

A_n=a₁+a₂+a₃+¼+a_n – n-ая частичная сумма,

...

образуют последовательность частичных сумм A₁, A₂,..., A_n, ... .

Определение .

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число A называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм {A_n} не имеет конечного предела при n®¥, то этот ряд называется расходящимся.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)

a + aq + aq² +...+ aq^n-1 +...= (a¹0).

Решение. Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если ïqï<1, то геометрический ряд сходится и его сумма Если же ïqï³1, то геометрический ряд расходится.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Так как , то n-ая частичная сумма данного ряда

. Эта сумма при n®¥ имеет предел _. Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.