ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрисс-пресс, 2004; 288 стр.

2) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике.
М.: Высшая школа, 1997; 304 стр.

3) Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. –М.: Наука, 1970; 573 стр.

4) Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1972; 416 стр.

5) Т.П. Темченко, Л.М. Ожерелкова.Функции нескольких переменных. (Учебно-методическое пособие); М.: Издательство МГАТХТ им. М.В. Ломоносова, 1988; 41 стр.

Издание учебное

Скворцова Мария Ивановна

Мудракова Ольга Александровна

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЕЧЕРНЕГО ОТДЕЛЕНИЯ

1-ОГО КУРСА.

(ЧАСТЬ III)

Учебно-методическое пособие

Подписано в печать ________________ Формат 60х84/16.
Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Тираж 300 экз.
Заказ № ______.

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Издательско-полиграфический центр

119571 Москва, пр. Вернадского, 86.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если уравнение содержит неизвестную функцию двух или большего числа независимых переменных, то оно называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x,y,y')=0, (1)

порядка n -

F(x,y,y',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0. (2)

Частным решением дифференциального уравнения называется функция y=y(x), которая обращает это уравнение в тождество.

Множество всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка записывается в виде y=j(x,C), где С - произвольная постоянная, или Ф(x,y,C)=0, определяющему y как неявно заданную функцию от x и называемому общим интегралом дифференциального уравнения. Придавая С различные значения, получают частные решения дифференциального уравнения. На практике частное решение выделяют из общего, задавая дополнительное условие, которому должна удовлетворять искомая функция. Чаще всего такое условие включают в задачу, называемую задачей Коши: найти решение y=j(x) дифференциального уравнения F(x,y,y')=0, которое при заданном значении x₀ принимает заданное значение y₀. Это условие y=y₀ при x= x₀ называется начальным. Оно часто записывается в виде .

Общее решение дифференциального уравнения порядка выше первого зависит от стольких произвольных постоянных, каков порядок уравнения, т.е. общее решение дифференциального уравнения n-порядка y=j(x,C₁,C₂,...,C_n) зависит от n произвольных постоянных C₁,C₂,...,C_n, а задача Коши имеет вид

F(x,y,y',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0,

y(x₀)=y₀,

y'(x₀)=y₀', (3)

. . . . . . .

y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1).