1)Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
2)В какой точке касательная к параболе 
а) параллельна прямой 
?
б) перпендикулярна прямой 
?
3)Найти дифференциал 
следующих функций :
а) 
; б) 
; в) 
.
4)Вычислить приближённо:
а) 
; б) 
.
Ответы
1) а) 
; б) 
; в) 
.
2) а) 
; б) 
.
4) а) 2,25; б) 1.
Занятие №9.
Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически.
Правило Лопиталя.
1)Пусть надо найти 
, где 
(или 
), т.е. имеет место неопределённость вида 
или 
.Тогда:
.
(Предполагается, что существуют производные 
в окрестности точки 
, а также существует предел, стоящий справа).
2) Пусть надо найти 
, где 
, 
, т.е. имеется неопределённость вида 
. Тогда следует сделать преобразование: 
, получив неопределённость вида , и воспользоваться указаниями в п.1).
3) Пусть надо найти 
, где 
, , т.е. имеется неопределённость вида 
. Тогда сделать подходящее преобразование выражения 
и прийти к случаю 1) или 2).
4) Пусть надо найти 
, где имеется неопределённость вида 
. Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:
Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела
.
Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует 
. Тогда правило Лопиталя не применимо.
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть функция 
задана параметрически:
Тогда её производная 
находится по следующей формуле:
.
Примеры
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8)Найти 
для функции 
, заданной параметрически:
а) 
;
¨ 
;
б) 
;
¨ 
.
